Cho hàm số \(y = {x^3} + m{x^2} + 3x - 2m + 5\)(với m là tham số thực). Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi A.\(\left[ \begin{array}{l}m \ge 3\\m \le - 3\end{array} \right.\) B.\(m \le 3.\) C.\( - 3 \le m \le 3.\) D.\( - 3 < m < 3.\)
Đáp án đúng: C Phương pháp giải: - Tìm đạo hàm của hàm số. - Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm. - Tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).Giải chi tiết:Ta có hàm số \(y = {x^3} + m{x^2} + 3x - 2m + 5\) có đạo hàm là \(y' = 3{x^2} + 2mx + 3\). Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} + 2mx + 3 \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 9 \le 0\\a = 3 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le m \le 3.\end{array}\) Chọn C.