Đáp án:
Giải thích các bước giải:
y' = $3{x^2} - 6x + 3(1 - m)$
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:
d: ${y_{ct}} = {y \over {y'}} = - 2mx + 2 + 2m$
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d:
${d_{(O;d)}} = {{\left| {2 + 2m} \right|} \over {\sqrt {4{m^2} + 1} }}$
Gọi $B({x_B},{y_B});C({x_C},{y_C})$ là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số
Ta có:
$BC = \sqrt {{{({x_B} - {x_C})}^2} + {{({y_B} - {y_C})}^2}} $
$ = \sqrt {{{({x_B} - {x_C})}^2} + {{( - 2m{x_B} + 2m{x_C})}^2}} $
$ = \sqrt {{{({x_B} - {x_C})}^2} + 4{m^2}{{({x_B} - {x_C})}^2}} $
$ = \sqrt {{{({x_B} + {x_C})}^2} - 4{x_B}.{x_C}} .\sqrt {4{m^2} + 1} $ (1)
Vì B, C là nghiệm của phương trình $y' = 3{x^2} - 6x + 3(1 - m) = 0$ nên áp dụng định lý Viet ta có:
$\left\{ {\matrix{
{{x_B} + {x_C} = {6 \over 3} = 2} \cr
{{x_B}.{x_C} = {{3(1 - m)} \over 3} = 1 - m} \cr
} } \right.$
Thay vào (1) ta được:
$BC = \sqrt {{2^2} - 4(1 - m)} .\sqrt {4{m^2} + 1} = \sqrt {4m} .\sqrt {4{m^2} + 1} $ (m > 0)
Theo giả thiết:
${S_{OBC}} = {1 \over 2}.{d_{(O,BC)}}.BC = {1 \over 2}.{{\left| {2 + 2m} \right|} \over {\sqrt {4{m^2} + 1} }}.\sqrt {4{m^2} + 1} .\sqrt {4m} = \sqrt m .(2 + 2m) = 4$
Suy ra: $(m + 1)\sqrt m = 2$
Thử các đáp án thấy m = 1 thỏa mãn bài toán.
