Đáp án đúng: C

Giải chi tiết:a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số đã cho.
Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số \(\left( P \right):\,\,y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) là đường cong nhận trục tung làm trục đối xứng và đi qua các điểm \(\left( { - 4;\,\,8} \right),\,\,\left( { - 2;\,\,2} \right),\,\,\left( {0;\,\,0} \right),\,\,\,\left( {2;\,\,2} \right),\,\,\,\left( {4;\,\,8} \right).\)
Đồ thị hàm số:

b) Đường thẳng \(y = 8\) cắt đồ thị \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\), trong đó điểm \(B\) có hoành độ dương. Gọi \(H\) là chân đường cao hạ từ \(A\) của tam giác \(OAB\), với \(O\) là gốc tọa độ. Tính diện tích tam giác \(AHB\) (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(y = 8\) ta có:
\(\dfrac{1}{2}{x^2} = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 4\end{array} \right.\)
+) Với \(x =  - 4 \Rightarrow A\left( { - 4;\,\,8} \right)\).
+) Với \(x = 4 \Rightarrow B\left( {4;\,\,8} \right)\)  (Vì \(B\) là điểm có hoành độ dương).

Gọi \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(y = 8\) với trục tung \( \Rightarrow K\left( {0;\,\,8} \right).\)
Ta có: \(\Delta AOB\) cân tại \(O\), có \(OK \bot AB\), \(OK = 8\,\,\left( {cm} \right),\,\,AB = 8\,\,\left( {cm} \right)\).
\( \Rightarrow {S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OK.AB = \dfrac{1}{2}.8.8 = 32\,\,c{m^2}.\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho \(\Delta OBK\) vuông tại \(K\) ta có:
\(OB = \sqrt {O{K^2} + K{B^2}}  = \sqrt {{8^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 5 \,\,\left( {cm} \right)\)
Lại có: \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}AH.OB\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AH.4\sqrt 5  = 32 \Leftrightarrow AH = \dfrac{{16\sqrt 5 }}{5}\,\,\left( {cm} \right).\)
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có:
\(BH = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{8^2} - {{\left( {\dfrac{{16\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}}  = \sqrt {\dfrac{{64}}{5}}  = \dfrac{{8\sqrt 5 }}{5}.\)
\( \Rightarrow {S_{ABH}} = \dfrac{1}{2}AH.BH = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{16\sqrt 5 }}{5}.\dfrac{{8\sqrt 5 }}{5} = \dfrac{{64}}{5}\, = 12,8\,\,c{m^2}.\)
Vậy diện tích tam giác \(ABH\) là \(12,8\,c{m^2}.\)
Chọn C.