Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:\(y = g\left( x \right) = 3f\left( { - \sqrt {x - m} } \right) + \left( {x - m} \right)\sqrt {x - m} \,\,\,\left( {x \ge m} \right)\)
Đặt \( - \sqrt {x - m} = u\), ta có: \(g\left( x \right) = 3f\left( u \right) - {u^3}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow g'\left( x \right) = 3\left( {f'\left( u \right) - {u^2}} \right).u' = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u' = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f'\left( u \right) = {u^2}\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow u' = \dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - m} }} \ne 0\,\,\forall x \ne m\).
Số nghiệm của (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( u \right)\) và \(y = {u^2}\).
Vẽ hai đồ thị hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right) \Rightarrow \)\(g'\left( x \right) \le 0,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\) (bằng 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng này)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f'\left( u \right) - {u^2} \ge 0\\u' \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f'\left( u \right) - {u^2} \le 0\\u' \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u \ge - 2\\u' \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u \le - 2\\u' \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {x - m} \ge - 2\\ - \dfrac{1}{{2\sqrt {x - m} }} \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {x - m} \le - 2\\ - \dfrac{1}{{2\sqrt {x - m} }} \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - m} \le 2\\ - \dfrac{1}{{2\sqrt {x - m} }} \le 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - m} \ge 2\\ - \dfrac{1}{{2\sqrt {x - m} }} \ge 0\,\,\left( {vo\,\,ly} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - m} \le 2,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge x - 4\\m \le x\end{array} \right.,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 1\\m \le 0\end{array} \right.\end{array}\)
Mà m là số nguyên \( \Rightarrow m = 0\) hoặc \(m = - 1\).
Chọn D.
