Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Đặt \(t = 2\sin 2x\), tìm khoảng giá trị của \(t\) ứng với \(x \in \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\).
- Đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\), dựa vào đồ thị hàm số xác định số nghiệm của phương trình.
- Vẽ đồ thị hàm số \(t = 2\sin 2x\) trên \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\), xét xem ứng với mỗi giá trị của \(t\) có bao nhiêu nghiệm \(x\) thỏa mãn.
Giải chi tiết:Đặt \(t = 2\sin 2x\).
Ta có đồ thị hàm số \(t = 2\sin 2x\) trên \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) như sau:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy với \(x \in \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) thì \(t \in \left[ { - 2;2} \right]\). Khi đó phương trình trở thành: \(f\left( t \right) = - 2\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta có: \(f\left( t \right) = - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = {t_1} \in \left( { - 3; - 2} \right)\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = {t_2} \in \left( { - 2; - 1} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = {t_3} \in \left( {1;2} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = {t_4} \in \left( {2;3} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).
Số nghiệm của phương trình \(t = {t_2}\,\,\,\left( {t = {t_3}} \right) = 2\sin 2x\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(t = 2\sin 2x\) và đường thẳng \(y = {t_2}\,\,\left( {y = {t_3}} \right)\) song song với trục \(Ox\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
+ Phương trình \(t = {t_2}\) có 2 nghiệm phân biệt.
+ Phương trình \(t = {t_3}\) có 4 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình ban đầu có tất cả 6 nghiệm thỏa mãn.
Chọn A.
