Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:
- Xét hàm đặc trưng \(g\left( t \right) = {t^3} + t\), chứng minh hàm số này đơn điệu trên \(\mathbb{R}\).
- Đặt \(u = f\left( x \right)\), tìm khoảng giá trị của \(u\) ứng với \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\). Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \ge h\left( u \right)\,\,\forall u \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} h\left( u \right)\).
Giải chi tiết:Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left[ {{f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right) + 2m + 1} \right]^3} - 4f\left( x \right) + 2m + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right) + 2m + 1} \right]^3} + \left[ {{f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right) + 2m + 1} \right] \ge {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right)\end{array}\)
Xét hàm đặc trưng \(g\left( t \right) = {t^3} + t\) ta có \(g'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\), do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Mà \(g\left[ {{f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right) + 2m + 1} \right] \ge g\left[ {f\left( x \right)} \right]\) nên \({f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right) + 2m + 1 \ge f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow 2m \ge  - {f^3}\left( x \right) + 4f\left( x \right) - 1\).
Với \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\), dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ { - 1;2} \right]\) và \(f\left( x \right) \in \left[ { - 1;5} \right]\).
Đặt \(u = f\left( x \right)\), yêu cầu bài toán trở thành tìm \(m\) để bất phương trình \(2m \ge  - {u^3} + 4u - 1\,\,\,\left( * \right)\) có nghiệm \(u \in \left[ { - 1;5} \right]\)
Xét hàm số \(h\left( u \right) =  - {u^3} + 4u - 1\) trên \(\left[ { - 1;5} \right]\) ta có \(h'\left( u \right) =  - 3{u^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} \in \left[ { - 1;5} \right]\\u =  - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}
otin \left[ { - 1;5} \right]\end{array} \right.\).
Ta có \(h\left( { - 1} \right) =  - 4,\,\,h\left( 5 \right) =  - 106,\,\,h\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = \dfrac{{ - 9 + 16\sqrt 3 }}{9}\).
Để bất phương trình  (*) có nghiệm \(u \in \left[ { - 1;5} \right]\) thì \(2m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} h\left( u \right) =  - 106\) \( \Leftrightarrow m \ge  - 53\).
Kết hợp điều kiện bài toán \( \Rightarrow  - 53 \le m < 2020,\,\,m \in \mathbb{Z}\).
Vậy có \(\left( {2019 + 53} \right) + 1 = 2073\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.