Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị trong hình sau: Số nghiệm của phương trình \(f\left( {{x^3} - 3x} \right) + 1 = 0\) trong khoảng \(\left( {0;2} \right)\) là: A.\(6\) B.\(5\) C.\(3\) D.\(1\)
Phương pháp giải: - Đặt ẩn phụ \(t = {x^3} - 3x\), lập BBT của hàm số \(t\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\). - Thay \(t = {x^3} - 3x\) vào phương trình đề bài cho, giải phương trình tìm \(t\). - Từ các nghiệm \(t\) tìm được sử dụng phương pháp tương giao để tìm số nghiệm \(x\). Giải chi tiết:Đặt \(t = {x^3} - 3x\) ta có \(t' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left( {0;2} \right)\\x = - 1 otin \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\). Ta có BBT:
Suy ra \(x \in \left( {0;2} \right)\) thì \(t \in \left[ { - 2;2} \right)\). Khi đó phương trình trở thành \(f\left( t \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = - 1\). Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = - 1\). Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại 3 điểm phân biệt, do đó phương trình \(f\left( t \right) = - 1\) có 3 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = a \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\\t = b \in \left( { - 2;0} \right)\\t = c \in \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\). Dựa vào BBT hàm số \(t = {x^3} - 3x\) ta có: + Phương trình \(t = b \in \left( { - 2;0} \right)\) có 2 nghiệm phân biệt. + Phương trình \(t = c \in \left( {0;2} \right)\) có 1 nghiệm duy nhất. Vậy phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm. Chọn C.