Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB=a,BC=a\sqrt{3},SA=a\) và \(SA\) vuông góc với đáy \(ABCD.\) Tính \(\sin \alpha ,\) với \(\alpha \) là góc tạo bởi giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( SBC \right).\)
A. \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{8}.\)   
B.\(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}.\)    
C. \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}.\)   
D. \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{5}.\)

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( 2;1;3 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+my+\left( 2m+1 \right)z-\left( 2+m \right)=0,\) với \(m\) là tham số. Gọi điểm \(H\left( a;b;c \right)\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên \(\left( P \right).\) Tính \(a+b\) khi khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất.
A. \(a+b=-\frac{1}{2}.\)
B. \(a+b=2.\)                  
C. \(a+b=0.\)                  
D. \(a+b=\frac{3}{2}.\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên hàm của tham số m nhỏ hơn 10 để phương trình sau \(\sqrt{m+\sqrt{m+{{e}^{x}}}}={{e}^{x}}\) có nghiệm thực?
A.8
B.9
C.10
D.7

Tập hợp nào sau đây chứa tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left| {{x}^{2}}-2x+m \right|\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) bằng 5?
A. \(\left( -6;-3 \right)\cup \left( 0;2 \right).\)   
B. \(\left( -4;3 \right).\)              
C. \(\left( 0;+\infty  \right).\)                 
D. \(\left( -5;-2 \right)\cup \left( 0;3 \right).\)

Cho hai số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{align} \left| z-3-2i \right|\le 1 \\ \left| w+1+2i \right|\le \left| w-2-i \right| \\ \end{align} \right..\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({{P}_{\min }}\) của biểu thức \(P=\left| z-w \right|.\)
A. \({{P}_{\min }}=\frac{3\sqrt{2}-2}{2}.\)      
B.\({{P}_{\min }}=\sqrt{2}+1.\)
C.\({{P}_{\min }}=\frac{5\sqrt{2}-2}{2}.\)       
D. \({{P}_{\min }}=\frac{2\sqrt{2}+1}{2}.\)

Biết rằng đồ thị được cho ở hình bên là đồ thị của một trong các hàm số cho ở các đáp án A, B, C, D dưới đây. Đó là hàm số nào?
A.\(y = {x^4} - 3{x^2}\).                        
B. \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\).                                                   
C.\(y =  - {x^4} + 2{x^2} - 1\).                                                        
D.\(y = 2{x^4} - 2{x^2} - 1\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Gọi \(D\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = a\) và đường thẳng \(x = b\). Khi đó diện tích \(S\) của hình phẳng \(D\) được tính theo công thức
A.\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \).                                                                                            
B.\(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).                   
C. \(S = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right|\).                                                
D. \(S = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} \)

Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là các số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng \(\frac{1}{16}\). Tìm số hạng đầu \({{u}_{1}}\) và công bội q của cấp số nhân đã cho
A. \(\left\{ \begin{align}  {{u}_{1}}=\frac{1}{2} \\  q=2 \\ \end{align} \right.\)           
B. \(\left\{ \begin{align}  {{u}_{1}}=2 \\  q=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{align}  {{u}_{1}}=-2 \\  q=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\)         
 
D. \(\left\{ \begin{align}  {{u}_{1}}=-\frac{1}{2} \\  q=-2 \\ \end{align} \right.\)

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho điểm \(A\left( 1;2;-3 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x+2y-z+9=0\). Đường thẳng \(D\) đi qua \(A\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 3;4;-4 \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại điểm \(B\). Điểm m thay đổi trong \(\left( P \right)\) sao cho m luôn nhìn đoạn \(AB\) dưới góc \({{90}^{0}}\). Khi độ dài \(MB\) lớn nhất, đường thẳng \(MB\) đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. \(J\left( -3;2;7 \right)\).          
B. \(K\left( 3;0;15 \right)\).                    
C. \(H\left( -2;-1;3 \right)\).        
D. \(I\left( -1;-2;3 \right)\)

Tính tổng T tất cả các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 0;200\pi \right]\) của phương trình \(\cos 2x-3\cos x-4=0\).
A. \(T=5100\pi \).           
B. \(T=5151\pi \).                       
C. \(T=10100\pi \).         
D. \(T=10000\pi \)