Theo đề bài ta có
$f(x+ y) = f(x) + f(y)$
Với x = y = 0 ta có
$f(0) = f(0) + f(0)$
$<-> f(0) =0$
Khi đó, ta có
$f[(x+y) +(-x-y)] = f(x+y) + f(-x-y)$
$<-> f(0) = f(x+y) +f(-x-y)$
$<-> f(x+y) + f(-(x+y)) = 0$
$<-> f(-(x+y)) = -f(x+y)$
Đẳng thức trên đúng với mọi giá trị $x, y$ thực. Do đó hàm số đã cho là hàm lẻ.