- Đặt \(t = f\left( x \right) + m + 2\), sử dụng tính đơn điệu của hàm số tìm \(t > {t_0}\). - Đưa bất phương trình về dạng \(m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( { - 1;4} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right)\). - Lập BBT hàm số \(f\left( x \right)\), và sử dụng ứng dụng tích phân tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right)\).Giải chi tiết:Ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _5}\left[ {f\left( x \right) + m + 2} \right] + f\left( x \right) > 4 - m\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left[ {f\left( x \right) + m + 2} \right] + f\left( x \right) + m + 2 > 6\end{array}\) Đặt \(t = f\left( x \right) + m + 2\), bất phương trình trở thành \({\log _5}t + t > 6\,\,\left( {t > 0} \right)\). Xét hàm số \(g\left( t \right) = {\log _5}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(g'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 5}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Lại có \(g\left( 5 \right) = {\log _5}5 + 5 = 6\) nên ta có \(g\left( t \right) > g\left( 5 \right) \Leftrightarrow t > 5\). Khi đó ta có \(f\left( x \right) + m + 2 > 5 \Leftrightarrow f\left( x \right) > 3 - m\) có nghiệm với mọi \(x \in \left( { - 1;4} \right)\) \( \Leftrightarrow 3 - m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right)\). Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta có BBT như sau:
Ta cần so sánh \(f\left( { - 1} \right)\) và \(f\left( 4 \right)\). Ta có: \(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right)dx} < - \int\limits_1^4 {f'\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right) < - f\left( 4 \right) + f\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow f\left( { - 1} \right) > f\left( 4 \right)\end{array}\) Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)\). Vậy \(3 - m \le f\left( 4 \right) \Leftrightarrow m \ge 3 - f\left( 4 \right)\). Chọn B
