Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Điều kiện: \(\sqrt {1 + {x^2}} + x > 0\)
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \ln \left( {\sqrt {1 + {x^2}} + x} \right)\) ta có:
\(y' = \dfrac{{\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}} = \dfrac{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} \left( {\sqrt {1 + {x^2}} + x} \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên TXĐ.
Xét: \(f\left( { - x} \right) = \ln \left( {\sqrt {1 + {x^2}} - x} \right) = \ln \dfrac{{1 + {x^2} - {x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}} = \ln \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}} = - \ln \left( {\sqrt {1 + {x^2}} + x} \right) = - f\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)
Khi đó ta có bất phương trình: \(f\left( {a - 1} \right) + f\left( {\ln a} \right) \le 0\,\,\,\,\,\left( {a > 0} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( {\ln a} \right) \le - f\left( {a - 1} \right)\\ \Leftrightarrow f\left( {\ln a} \right) \le f\left( {1 - a} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)} \right)\\ \Leftrightarrow \ln a \le 1 - a\,\,\,\left( {do\,\,\,f'\left( x \right) > 0} \right) \Leftrightarrow \ln a + a \le 1\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(g\left( a \right) = \ln a + a\,\,\left( {a > 0} \right)\) ta có: \(g'\left( a \right) = \dfrac{1}{a} + 1 > 0\,\,\forall a > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Theo (*) ta có \(g\left( a \right) \le g\left( 1 \right) = \ln 1 + 1 \Leftrightarrow a \le 1\).
Vậy \(0 < a \le 1\).
Chọn C.
