Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:
1) Vẽ đường thẳng trong mặt phẳng Oxy bằng cách xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
2) Để hai đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\) và \(\left( {d'} \right):y = a'x + b'\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì \(a
e a'\) và phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng có nghiệm \(x = 0\).
3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành và trục tung.
Sau đó sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Giải chi tiết:1) Vẽ đồ thị hàm số \(\left( 1 \right)\) khi \(m = 2.\)
Với \(m = 2\) thì \(y = 3x + 6\)
Vẽ đồ thị hàm số: \(y = 3x + 6:\)
+) Giao điểm \(A\)  của đường thẳng \(y = 3x + 6\) với trục  \(Ox\)  là:
\({y_A} = 0 \Rightarrow 3{x_A} + 6 = 0\, \Rightarrow {x_A} =  - 2\, \Rightarrow A\left( { - 2;0} \right)\)
+) Giao điểm  \(B\) của đường thẳng \(y = 3x + 6\) với trục  \(Oy\)  là:
\({x_B} = 0 \Rightarrow {y_B} = 3{x_B} + 6 = 6\, \Rightarrow B\left( {0;6} \right)\)
+) Vẽ đường thẳng \(y = 3x + 6\) trong mặt phẳng \(Oxy:\)
Ta có đường thẳng \(y = 3x + 6\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 2;0} \right);B\left( {0;6} \right)\) nên đường thẳng \(y = 3x + 6\) chính là đường thẳng \(AB.\)
Ta có hình vẽ bên.

2) Gọi đồ thị của hàm số \(\left( 1 \right)\) là đường thẳng \(\left( d \right),\) tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 5x + m - 2\) tại một điểm nằm trên trục tung.
Để \(d:\,\,y = \left( {m + 1} \right)x + 6\) cắt đường thẳng \(y = 5x + m - 2\) tại một điểm nằm trên trục tung thì \(m + 1
e 5\) và phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng có nghiệm \(x = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1
e 5\\\left( {m + 1} \right).0 + 6 = 5.0 + m - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m
e 4\\6 = m - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m
e 4\\m = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 8\,\,\,\left( {tmdk\,\,m
e  - 1} \right)\end{array}\)
Vậy \(m = 8\) là giá trị cần tìm.
3) Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(\left( d \right)\) bằng \(3\sqrt 2 .\)

Đồ thị hàm số \(y = \left( {m + 1} \right)x + 6\) với \(m
e  - 1\) là đường thẳng cắt \(Ox\) tại điểm \(A'\left( { - \frac{6}{{m + 1}};0} \right)\) và cắt \(Oy\) tại điểm \(B\left( {0;6} \right)\)
Suy ra: \(OA' = \left| {\frac{{ - 6}}{{m + 1}}} \right| = \frac{6}{{\left| {m + 1} \right|}}\) và \(OB = \left| 6 \right| = 6\)
Kẻ \(OH \bot A'B\) tại \(H\) thì \(OH\) chính là khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(\left( d \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{OA{'^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{6}{{\left| {m + 1} \right|}}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{16}} = \frac{1}{{\frac{{36}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}}} + \frac{1}{{36}} \Leftrightarrow \frac{1}{{18}} = \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 1}}{{36}}\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{36}} = \frac{{{m^2} + 2m + 1 + 1}}{{36}} \Leftrightarrow 2 = {m^2} + 2m + 2\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow m\left( {m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {tmdk} \right)\end{array}\)
Vậy \(m \in \left\{ {0; - 2} \right\}\) là giá trị cần tìm.
Chọn C.