Cho hàm số \(y=\frac{x+m}{x+1}\) (m là tham số thực) thỏa mãn \(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{min}}\,y=3.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.\(3<m\le 6\) B.\(m<1\) C.\(m>6\) D.\(1\le m<3\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:\(y'=\frac{1-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\) TH1: m = 1 ta có y = 1 là hàm hằng và không có giá trị nhỏ nhất (loại) TH2: m > 1 thì 1 – m < 0 khi đó hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;1] tại x = 1. Khi đó ta có: \(y\left( 1 \right)=\frac{1+m}{1+1}=3\Leftrightarrow m=5\)(thỏa mãn) TH3: m < 1 thì 1 – m > 0 khi đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;1] tại x = 0. Khi đó ta có: \(y\left( 0 \right)=\frac{0+m}{0+1}=3\Leftrightarrow m=3\)(không thỏa mãn) Vậy m = 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.