Đáp án:
a) $m=\dfrac{8}{3}$ thì khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất
b) $S_{OMN}=\dfrac{1}{4}$
Giải thích các bước giải:
a)
(d): $y=(m-2)x-2m+1$
Gọi điểm cố định mà (d) luôn đi qua là $A(x_o;y_o)$
$\to y_o=(m-2)x_o-2m+1\\⇔y_o=mx_o-2x_o-2m+1\\⇔m(x_o-2)-2x_o+1-y_o=0\\⇔m(x_o-2)+(-2x_o-y_o+1)=0\\⇔\begin{cases}x_o-2=0\\-2x_o-y_o+1=0\end{cases}\\⇔\begin{cases}x_o=2\\y_o=-3\end{cases}$
$\to$ Điểm cố định mà d luôn đi qua là $A(2;-3)$
Kẻ $OH\bot d$
$\to$ OH là khoảng cách từ O đến d
$\triangle HAO$ vuông tại H
$\to OH<OA$ (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền)
$\to$ Để khoảng cách từ O đến d lớn nhất thì $OH=OA$
$\to H≡A$
Phương trình đường thẳng OA đi qua $O(0;0)$ và $A(2;-3)$ có dạng $y=ax+b$
$\to\begin{cases}0=a.0+b\\-3=2a+b\end{cases}\to\begin{cases}b=0\\a=-\dfrac{3}{2}\end{cases}$
$\to$ Phương trình đường thẳng OA là $y=-\dfrac{3}{2}x$
Vì lúc này $OA\bot d$
$\to-\dfrac{3}{2}.(m-2)=-1\\\to3(m-2)=2\\\to m=\dfrac{8}{3}$
b)
(d): $y=(m-2)x-2m+1$
Khi $m=0$: $y=-2x+1$
Giao điểm của (d) và Ox $\to y=0\to x=\dfrac{1}{2}\to M\left(\dfrac{1}{2};0\right)$
Giao điểm của (d) và Oy $\to x=0\to y=1\to N(0;1)$
$\to OM=\dfrac{1}{2}; ON=1\\\to S_{OMN}=\dfrac{1}{2}.OM.ON=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{4}$
