Đáp án:
`m\in [-1;1]`
Giải thích các bước giải:
`\qquad y=\sqrt{sin^4x+cos^4x-msinxcosx}`
Để hàm số xác định với mọi `x`
`<=>sin^4x+cos^4x-msinxcosx\ge 0`
`<=>(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x-1/ 2 m. sin2x\ge 0`
`<=>1-1/ 2 sin^2 2x-1/ 2 msin2x\ge 0`
`<=>sin^2 2x+msin2x-2\le 0` (*)
Đặt `t=sin2x\ (-1\le t\le 1)`
(*)`<=>t^2 +mt-2\le 0`
Ta có:
`∆=m^2-4.1.(-2)=m^2+8\ge 8>0` `\forall m`
`=>PT` luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi `m`
`t_1={-b+\sqrt{∆}}/{2a}={-m+\sqrt{m^2+8}}/2`
`t_2={-b-\sqrt{∆}}/{2a}={-m-\sqrt{m^2+8}}/2`
`=>t_1>t_2`
Để hàm số xác định với mọi `x`
`<=>` (*) có nghiệm thỏa `-1\le t\le 1`
`=>`$\begin{cases}\dfrac{-m-\sqrt{m^2+8}}{2}\le -1\\\dfrac{-m+\sqrt{m^2+8}}{2}\ge 1\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}-m-\sqrt{m^2+8}\le -2 \\-m+\sqrt{m^2+8}\ge 2\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}-\sqrt{m^2+8}\le m-2 \ (1)\\\sqrt{m^2+8}\ge m+2\ (2)\end{cases}$
$\\$
+) `(1)<=>\sqrt{m^2+8}\ge -m+2`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}-m+2<0\\\begin{cases}-m+2\ge 0\\m^2+8\ge m^2-4m+4\end{cases}\end{array}\right.$
`<=>`$\left[\begin{array}{l}m>2\\\begin{cases}m\le 2\\m\ge -1\end{cases}\end{array}\right.$`=>m\ge -1`(**)
$\\$
+) `(2)<=>`$\left[\begin{array}{l}m+2<0\\\begin{cases}m+2\ge 0\\m^2+8\ge m^2+4m+4\end{cases}\end{array}\right.$
`<=>`$\left[\begin{array}{l}m< -2\\\begin{cases}m\ge -2\\m\le 1\end{cases}\end{array}\right.$`=>-2\le m\le 1` (***)
$\\$
Từ (**);(***)`=>-1\le m\le 1`
Vậy `m\in [-1;1]` thỏa đề bài
