a) Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.

\(I\left( {3;\,\,5} \right).\)

Giả sử hình bình hành có cạnh \(\left\{ \begin{array}{l}AB:\,\,\,x + 3y - 6 = 0\\AD:\,\,2x - 5y - 1 = 0\end{array} \right..\)

Khi đó ta có tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 = 0\\2x - 5y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {3;\,\,1} \right).\)

Ta có: \(I\left( {3;\,\,5} \right)\) là tâm của hình bình hành

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow C\left( {3;\,\,9} \right).\)

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}BC//AD \Rightarrow BC:\,\,\,2x - 5y + a = 0\,\,\,\left( {a \ne  - 1} \right)\\DC//AB \Rightarrow DC:\,\,x + 3y + b = 0\,\,\,\left( {b \ne  - 6} \right)\end{array} \right.\)

Lại có:\(\left\{ \begin{array}{l}C \in BC\\C \in DC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.3 - 5.9 + a = 0\\3 + 3.9 + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 39\,\,\,\left( {tm} \right)\\b =  - 30\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)  

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC:\,\,\,2x - 5y + 39 = 0\\DC:\,\,\,x + 3y - 30 = 0\end{array} \right..\)

b) Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành.

Ta có: tọa độ đỉnh \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 39 = 0\\x + 3y - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{87}}{{11}}\\y = \frac{{51}}{{11}}\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - \frac{{87}}{{11}};\,\,\frac{{51}}{{11}}} \right)\)

Ta có: tọa độ đỉnh \(D\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y - 1 = 0\\x + 3y - 30 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{153}}{{11}}\\y = \frac{{59}}{{11}}\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {\frac{{153}}{{11}};\,\,\frac{{59}}{{11}}} \right)\)

c) Viết các phương trình đường chéo của hình bình hành.

Gọi phương trình đường chéo \(AC:\,\,y = {a_1}x + {b_1}.\)

Đường chéo \(AC\) đi qua \(A,\,\,C \Rightarrow x = 3.\)

Gọi phương trình đường chéo \(BD:\,\,y = {a_2}x + {b_2}.\)

Đường chéo \(BD\) đi qua \(B,\,\,I \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{51}}{{11}} =  - \frac{{87}}{{11}}{a_2} + {b_2}\\5 = 3{a_2} + {b_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_2} = \frac{1}{{30}}\\{b_2} = \frac{{49}}{{10}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow BD:\,\,\,y = \frac{1}{{30}}x + \frac{{49}}{{10}}.\)