Gọi AC cắt BD tại O.
Ta có $AC \perp BD$, $BD \perp SA$, vậy $BD \perp (SAC)$ và do đó $(SAC) \perp (ABCD)$.
Cũng theo lập luận trên ta có $(SAC) \perp (SBD)$
Vậy góc giữa (SBD) và (ABCD) chính là góc $\widehat{SOA} = 60^{\circ}$
Xét tam giác vuông SAO có $AO = \dfrac{a \sqrt{2}}{2}$ và $\widehat{SOA} = 60^{\circ}$. KHi đó, ta tính đc
$SA = SO . \tan(60) = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Vậy
$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3} . SA . S_{ABCD} = \dfrac{1}{3} . \dfrac{a\sqrt{6}}{2} . a^2 = \dfrac{a^3 \sqrt{6}}{6}$.
Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có
$\dfrac{V_{S.ADMN}}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{SM}{SB} . \dfrac{SN}{SC} = \dfrac{1}{2} . \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$
Vậy
$V_{S.ADMN} = \dfrac{1}{4} . \dfrac{a^3 \sqrt{6}}{6} = \dfrac{a^3 \sqrt{6}}{24}$
