$(I)$ $\begin{cases}x+2y=5(1)\\mx+y=4(2)\end{cases}$
Từ (2) ⇒ $y=4-mx$ (*)
Thay (*) vào (1) ta được:
$x+2(4-mx)=5$
$⇔x+8-2mx=5$
$⇔x-2mx=5-8$
$⇔x(1-2m)=-3$ (3)
Để hệ phương trình $(I)$ có nghiệm duy nhất
$⇔$ Phương trình (3) có nghiệm duy nhất
$⇔1-2m\neq0$
$⇔2m\neq1$
$⇔m\neq\dfrac{1}{2}$
Từ (3) ⇒ $x=\dfrac{-3}{1-2m}$
Thay $x=\dfrac{-3}{1-2m}$ vào (*) ta được:
$y=4-m.\dfrac{-3}{1-2m}$
$y=4+\dfrac{3}{1-2m}$
$y=\dfrac{4-8m+3}{1-2m}$
$y=\dfrac{7-8m}{1-2m}$
⇒ Hệ phương trình $(I)$ có nghiệm duy nhất $\begin{cases}x=\dfrac{-3}{1-2m}\\y=\dfrac{7-8m}{1-2m}\end{cases}$
Để x, y nguyên
$⇔\begin{cases}\dfrac{-3}{1-2m}nguyen\\\dfrac{7-8m}{1-2m}nguyen\end{cases}$
* $\dfrac{-3}{1-2m}$ nguyên
$⇔1-2m\inƯ(-3)=\{\pm1;\pm3\}$
Ta có bảng:
1 - 2m 1 -1 3 -3
m 0 1 -1 2
⇒ Thỏa mãn điều kiện $m\neq\dfrac{1}{2}$
* $\dfrac{7-8m}{1-2m}$ nguyên
$⇔\dfrac{4(1-2m)+3}{1-2m}=4+\dfrac{3}{1-2m}$ nguyên
$⇔1-2m\inƯ(3)=\{\pm1;\pm3\}$
Ta có bảng:
1 - 2m 1 -1 3 -3
m 0 1 -1 2
⇒ Thỏa mãn điều kiện $m\neq\dfrac{1}{2}$
Vậy để hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà x, y nguyên thì $m\in\{0;\pm1;2\}$.
