Đáp án: m= -1
Giải thích các bước giải:
Ta rút \(x\) thừ phương trình thứ nhất: x=2-(m-1)y.
Thay x=2-(m-1)y vào phương trình thứ hai ta được:
\((m + 1)\left[ {2 - (m - 1)y} \right] - y = m + 1\)
Từ đây rút ra \(y = \frac{{m + 1}}{{{m^2}}}\). Rồi lại thay \(y = \frac{{m + 1}}{{{m^2}}}\) vào
x=2-(m-1)y ⇒ \(x = \frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}}\).
Xét x-2y = \(\frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}} - 2\frac{{m + 1}}{{{m^2}}}\) = \(\frac{{{m^2} - 2m - 1}}{{{m^2}}}\).
Phân tích thành: x-2y = \(\frac{{ - ({m^2} + 2m + 1) + 2{m^2}}}{{{m^2}}} = \frac{{ - {{(m + 1)}^2} + 2{m^2}}}{{{m^2}}} = \frac{{ - {{(m + 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 2\).
Ta nhận xét: mẫu \({m^2} > 0,\forall m \ne 0\) và \({ - {{(m + 1)}^2}}\) ≤ 0 với \(\forall m\)
\( \Rightarrow \frac{{ - {{(m + 1)}^2}}}{{{m^2}}} \le 0,\forall m \ne 0\)
\( \Rightarrow \frac{{ - {{(m + 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 2 \le 2,\forall m \ne 0\)
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\) (thỏa mãn \(m \ne 0\))
Để x-2y đạt giá trị lớn nhất bằng 2 \( \Leftrightarrow m = - 1\)
Với m=-1 thay vào hệ phương trình đã cho ta được hệ phương trình sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 2\\
- y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = (2;0)\)
\( \Rightarrow \) nghiệm duy nhất của hệ \(\left( {x;y} \right) = (2;0)\)
Vậy \(m = - 1\) thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = (2;0)\) thỏa mãn x-2y đạt giá trị lớn nhất.
