Đáp án:

\(m \in \left\{ { - 2;\,\,0} \right\}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + my = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\mx + y = m + 1\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Rightarrow x = 2 - my\\ \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow m\left( {2 - my} \right) + y = m + 1\\ \Leftrightarrow 2m - {m^2}y + y = m + 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)y = m - 1\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)y = m - 1\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có nghiệm duy nhất

\( \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1.\)  

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow y = \frac{{m - 1}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)}} = \frac{1}{{m + 1}}\\ \Rightarrow x = 2 - my = 2 - \frac{m}{{m + 1}} = \frac{{2m + 2 - m}}{{m + 1}} = \frac{{m + 2}}{{m + 1}}.\end{array}\)

Vậy với \(m \ne  \pm 1\) thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{{m + 2}}{{m + 1}};\,\,\frac{1}{{m + 1}}} \right).\)

Hệ phương trình có nghiệm nguyên \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\y \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}\frac{{m + 2}}{{m + 1}} \in \mathbb{Z}\\\frac{1}{{m + 1}} \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Ta có: \(\frac{1}{{m + 1}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow m + 1 \in U\left( 1 \right) = \left\{ { - 1;\,\,1} \right\}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 =  - 1\\m + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ + )\,\,\,m =  - 2 \Rightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\ + )\,\,\,m = 0 \Rightarrow x = 2\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ { - 2;\,\,0} \right\}\) thỏa mãn bài toán.