Đáp án đúng: C

Giải chi tiết:a) Giải hệ phương trình với \(k = 1.\)
Với \(k = 1\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{\sqrt {yz} }} + \sqrt {\dfrac{x}{y}}  + \sqrt {\dfrac{x}{z}}  = 1\\\dfrac{y}{{\sqrt {zx} }} + \sqrt {\dfrac{y}{z}}  + \sqrt {\dfrac{y}{x}}  = 1\\\dfrac{z}{{\sqrt {xy} }} + \sqrt {\dfrac{z}{x}}  + \sqrt {\dfrac{z}{y}}  = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( I \right)\)
ĐKXĐ: \(x,\,\,y,\,\,z\) cùng dấu, \(xyz
e 0.\)
TH1: \(x,\,\,y,\,\,z > 0.\)
\(\begin{array}{l}\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{\sqrt {yz} }} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt y }} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt z }} = 1\\\dfrac{y}{{\sqrt {zx} }} + \dfrac{{\sqrt y }}{{\sqrt z }} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt z }} = 1\\\dfrac{z}{{\sqrt {xy} }} + \dfrac{{\sqrt z }}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt z }}{{\sqrt y }} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z } \right)}}{{\sqrt {yz} }} = 1\\\dfrac{{\sqrt y \left( {\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z } \right)}}{{\sqrt {zx} }} = 1\\\dfrac{{\sqrt z \left( {\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z } \right)}}{{\sqrt {xy} }} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \left( {\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z } \right) = \sqrt {yz} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sqrt y \left( {\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z } \right) = \sqrt {zx}  & \left( 2 \right)\\\sqrt z \left( {\sqrt x  + \sqrt y  + \sqrt z } \right) = \sqrt {xy}  & \left( 3 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Chia hai vế của \(\left( 1 \right)\) cho \(\left( 2 \right)\) ta được: \(\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt y }} = \dfrac{{\sqrt y }}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = y\)
Tương tự ta được: \(x = y = z.\) Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được:
\(\sqrt x .3\sqrt x  = x \Leftrightarrow 3x = x\) \( \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\)
\( \Rightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm.
TH2: \(x,\,\,y,\,\,z < 0.\)
Đặt \(\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( { - a;\, - b; - c} \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,c > 0.\)
Khi đó ta có: \(\dfrac{x}{{\sqrt {yz} }} + \sqrt {\dfrac{x}{y}}  + \sqrt {\dfrac{x}{z}}  = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - a}}{{\sqrt {bc} }} + \sqrt {\dfrac{a}{b}}  + \sqrt {\dfrac{a}{c}}  = 1\\ \Leftrightarrow  - a + \sqrt {ac}  + \sqrt {ab}  = \sqrt {bc} \end{array}\)
Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - b + \sqrt {bc}  + \sqrt {ab}  = \sqrt {ca} \\ - c + \sqrt {ac}  + \sqrt {cb}  = \sqrt {ab} \end{array} \right.\)
Khi đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - a + \sqrt {ac}  + \sqrt {ab}  = \sqrt {bc}  & \left( 4 \right)\\ - b + \sqrt {bc}  + \sqrt {ab}  = \sqrt {ca}  & \left( 5 \right)\\ - c + \sqrt {ac}  + \sqrt {cb}  = \sqrt {ab}  & \left( 6 \right)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế 3 phương trình trên ta được:
\(\begin{array}{l} - a - b - c + 2\sqrt {ac}  + 2\sqrt {bc}  + 2\sqrt {ab}  = \sqrt {bc}  + \sqrt {ca}  + \sqrt {ab} \\ \Leftrightarrow a + b + c = \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \end{array}\)
Mà \(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow x = y = z\)
Ta có: \(\dfrac{x}{{\sqrt {yz} }} + \sqrt {\dfrac{x}{y}}  + \sqrt {\dfrac{x}{z}}  = 1\) \( \Leftrightarrow  - 1 + 1 + 1 = 1\) (luôn đúng)
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm: \(\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {t;\,\,t;\,\,t} \right)\) với \(t < 0.\)  
b) Chứng minh hệ vô nghiệm với \(k \ge 2\) và \(k
e 3.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{\sqrt {yz} }} + \sqrt {\dfrac{x}{y}}  + \sqrt {\dfrac{x}{z}}  = k\\\dfrac{y}{{\sqrt {zx} }} + \sqrt {\dfrac{y}{z}}  + \sqrt {\dfrac{y}{x}}  = k\\\dfrac{z}{{\sqrt {xy} }} + \sqrt {\dfrac{z}{x}}  + \sqrt {\dfrac{z}{y}}  = k\end{array} \right..\)
ĐKXĐ: \(\) cùng dấu, \(xyz
e 0.\)
Áp dụng câu a) ta có:
TH1: \(x,\,\,y,\,\,z > 0 \Rightarrow x = y = z\)
Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(\sqrt x .3\sqrt x  = kx \Leftrightarrow 3 = k\)
Mà \(k
e 3\) \( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.
\( \Rightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm.
TH2: \(x,\,\,y,\,\,z < 0.\)
Đặt \(\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( { - a;\, - b; - c} \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,c > 0.\)
Khi đó ta có: \(\dfrac{x}{{\sqrt {yz} }} + \sqrt {\dfrac{x}{y}}  + \sqrt {\dfrac{x}{z}}  = k\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - a}}{{\sqrt {bc} }} + \sqrt {\dfrac{a}{b}}  + \sqrt {\dfrac{a}{c}}  = k\\ \Leftrightarrow  - a + \sqrt {ac}  + \sqrt {ab}  = k\sqrt {bc} \end{array}\)
Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - b + \sqrt {bc}  + \sqrt {ab}  = k\sqrt {ca} \\ - c + \sqrt {ac}  + \sqrt {cb}  = k\sqrt {ab} \end{array} \right.\)
Khi đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - a + \sqrt {ac}  + \sqrt {ab}  = k\sqrt {bc} \\ - b + \sqrt {bc}  + \sqrt {ab}  = k\sqrt {ca} \\ - c + \sqrt {ac}  + \sqrt {cb}  = \sqrt {ab} \end{array} \right.\)
Cộng vế với vế 3 phương trình trên ta được:
\(\begin{array}{l} - a - b - c + 2\sqrt {ac}  + 2\sqrt {bc}  + 2\sqrt {ab}  = k\left( {\sqrt {bc}  + \sqrt {ca}  + \sqrt {ab} } \right)\\ \Leftrightarrow  - \left( {a + b + c} \right) + \left( {2 - k} \right)\left( {\sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} } \right) = 0\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)
Với \(k \ge 2 \Rightarrow 2 - k \le 0\)
\( \Rightarrow  - \left( {a + b + c} \right) + \left( {2 - k} \right)\left( {\sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} } \right) < 0\)
\( \Rightarrow \left( {**} \right)\) vô nghiệm.
\( \Rightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy với \(k \ge 2,\,\,k
e 3\) thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Chọn C.