a. Hệ có nghiệm duy nhất: $x=$$\frac{m+4}{m^2+2}$ và $y=$ $\frac{2m-1}{m^2+2}$ (∀m)
Ta có $x>0$ ⇔ $\frac{m+4}{m^2+2}>0$ ⇒ $m>-4$
$y<0$ ⇔ $\frac{2m-1}{m^2+2}<0$ ⇒ $m<$$\frac{1}{2}$
Suy ra: $-4<m<^{}$ $\frac{1}{2}$
Do $m$ là số nguyên ⇒ $m=-3,-2,-1,0$
b. Với ∀m hệ PT có nghiệm duy nhất: $x=$$\frac{m+4}{m^2+2}$ và $y=$ $\frac{2m-1}{m^2+2}$
Ta có: $x$ là số nguyên ⇔ $m+4$ chia hết cho $m^2+2$
⇒ $m^2+2$ $\leq$ | m+4|$
$y$ là số nguyên ⇔ $2m-1$ chia hết cho $m^2+2$
⇒ $m^2+2^{}$ $\leq$$ |2m-1|$
Điều kiện của m là:
$\left \{ {{m^2+2^{}\leq |2m-1| } \atop {m^2+2 \leq | m+4|}} \right.$
Chỉ cần xét $m^2+2^{}$ $\leq$$ |2m-1|$
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}2m-1=m^2+2\\2m-1\leq-(m^2+2)\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m^2+3-2m\leq0\\m^2+2m-1\leq0\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}(m-1)^2+2\leq0 (vô lí)\\(m+1)^2\leq0\end{array} \right.\)
⇒ $m=-1$
Khi $m=-1$ ⇒ $x=$$\frac{-1+4}{1+2}=1,y=$ $\frac{-3}{1+2}=-1$ ( thỏa mãn do m nguyên)
Vậy $m=-1$ thì hệ PT có nghiệm duy nhất là các số nguyên
