`a)` Vì $ABCD$ là hình bình hành có $O$ là giao điểm $AC;BD$

`=>O` là trung điểm $AC$ (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

`=>OA=OC` 

$\\$

 $\quad OE$ là phân giác của `\hat{AOB}` (gt)

`=>{EB}/{EA}={OB}/{OA}={OB}/{OC}`

$\\$

 $\quad OK$ là phân giác của `\hat{BOC}` (gt)

`=>{KB}/{KC}={OB}/{OC}`

$\\$

`=>{EB}/{EA}={KB}/{KC}`

$\\$

`b)` Vì `{EB}/{EA}={KB}/{KC}` (câu a)

`=>EK`//$AC$ (định lý Talet đảo)

$\\$

Xét $∆BEI$ và $∆BAO$ có:

`\hat{B}` chung

`\hat{BEI}=\hat{BAO}` (hai góc đồng vị do $EK$//$AC$)

`=>∆BEI∽∆BAO` (g-g)

$\\$

`c)` $ABCD$ là hình bình hành 

`=>\hat{ABC}=\hat{CDA}`

`=>\hat{EBK}=\hat{CDA}`

`\qquad AB`//$DC$

`=>\hat{DCA}=\hat{BAC}` 

Mà `\hat{BEK}=\hat{BAC}` (hai góc đồng vị do $EK$//$AC$)

`=>\hat{BEK}=\hat{DCA}`

$\\$

Xét $∆BEK$ và $∆DCA$ có:

`\hat{EBK}=\hat{CDA}` (c/m trên)

`\hat{BEK}=\hat{DCA}` (c/m trên)

 `=>∆BEK∽∆DCA`(g-g)

$\\$

$\quad ∆BEI∽∆BAO$ (câu b)

`=>{IE}/{OA}={IB}/{OB}` (tỉ số đồng dạng) $(1)$

$\\$

Xét $∆BIK$ và $∆BOC$ có:

`\hat{B}` chung

`\hat{BIK}=\hat{BOC}` (hai góc đồng vị do $EK$//$AC$)

`=>∆BIK∽∆BOC` (g-g)

`=>{IB}/{OB}={IK}/{OC}` (tỉ số đồng dạng) $(2)$

Từ `(1);(2)=>{IE}/{OA}={IK}/{OC}`

Vì `OA=OC` (đã c/m)

`=>IE=IK`

$\\$

`d)` Áp dụng định lý Talet:

Xét $∆ABI$ có $AB$//$DM$

`=>{MI}/{AI}={DI}/{BI}` 

`=>{MI}/{AI}+1={DI}/{BI}+1`

`=>{MI+AI}/{AI}={DI+BI}/{BI}`

`=>{AM}/{AI}={DB}/{BI}`

`=>{AI}/{AM}={BI}/{DB}` $(3)$

$\\$

Xét $∆ADI$ có $AD$//$BG$

`=>{IG}/{AI}={BI}/{DI}` 

`=>{IG}/{AI}+1={BI}/{DI}+1`

`=>{IG+AI}/{AI}={BI+DI}/{DI}`

`=>{AG}/{AI}={DB}/{DI}`

`=>{AI}/{AG}={DI}/{DB}` $(4)$

$\\$

Từ `(3);(4)` ta có:

`\qquad {AI}/{AM}+{AI}/{AG}={BI}/{DB}+{DI}/{DB}`

`<=>AI.(1/{AM}+1/{AG})={BI+DI}/{DB}`

`<=>AI.(1/{AM}+1/{AG})={DB}/{DB}=1`

`<=>1/{AM}+1/{AG}=1/{AI}`