`a)`
Xét tứ giác `ABEC` có:
`AO=EO(g``t)`
`BO=CO(g``t)`
`⇒` tứ giác `ABEC` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành `)(1)`
Ta có:`AB=AC(g``t)`
`⇒ΔABC` cân tại `A`
Mà `Δ` cân `ABC` có `AO` là đường trung tuyến
`⇒AO` đồng thời là đường cao của `ΔABC`
`⇒AO⊥BC`
Hay `AE⊥BC(2)`
Từ `(1)` và `(2)⇒ABEC` là hình thoi `(` hình bình hành có `2` đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi `)(đpcm)`
`b)`
Vì `ABEC` là hình thoi
`⇒hat{E_1}=hat{A_1}(`tính chất hình thoi`)`
Vì `ABCD` là hình bình hành
`text{⇒AD//BC(tính chất hình bình hành)}`
Mà `AE⊥BC(cmt)`
`⇒AD⊥AE`
Xét `2Δ` vuông `EAD` và `AEF` có:
`hat{E_1}=hat{A_1}(cmt)`
`AE:chung`
`text{⇒ΔEAD=ΔAEF(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)}`
`text{⇒AD=EF(2 cạnh tương ứng)}`
Ta có:`AD⊥AE(cmt)`
`EF⊥AE(g``t)`
`text{⇒AD//EF( từ ⊥ đến //)}`
Xét tứ giác `ADFE` có:
`text{AD//EF(cmt)`
`AD=EF(cmt)`
`⇒` tứ giác `ADFE` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối diện song song và bằng nhau là hình bình hành `)`
Mà `AE⊥EF(g``t)`
`⇒ADFE` là hình chữ nhật `(` hình bình hành có `1` góc vuông là hình chữ nhật `)(đpcm)`
`c)`
Vì `ABEC` là hình thoi
`⇒hat{CAG}=hat{CEH}(` tính chất hình thoi `)`
`AC=EC(` tính chất hình thoi `)`
Xét `2Δ` vuông `AGC` và `EHC` có:
`hat{CAG}=hat{CEH}(cmt)`
`AC=EC(cmt)`
`⇒ΔAGC=ΔEHC(` cạnh huyền-góc nhọn `)`
`⇒CG=CH(2` cạnh tương ứng `)`
Xét `2Δ` vuông `CGB` và `CHB` có:
`CG=CH(cmt)`
`CB:chung`
`⇒ΔCGB=ΔCHB(` cạnh huyền-cạnh góc vuông `)`
`⇒hat{C_1}=hat{C_2}(2` góc tương ứng `)`
`⇒CB` là đường phân giác của `ΔCGH`
Ta có:`CG=CH(cmt)`
`⇒ΔCGH` cân tại `C`
Mà `Δ` cân `CGH` có `CB` là đường phân giác
`⇒CB` đồng thời là đường cao của `ΔCGH`
`⇒CB⊥GH`
Mà `BC⊥AE(cmt)`
`text{⇒GH//AE( từ ⊥ đến //)}(đpcm)`
