Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng:
a. EMFN là hình bình hành.
b. Các đường thẳng AC, EF, MN đồng quy.
Giải:
Xét tứ giác AECF, ta có:
AB // CD (gt)
hay AE // CF
AE =12AB (gt)
CF =12CD (gt)
AB = CD (tính chất hình bình hành)
Suy ra: AE = CF
Tứ giác AECF là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau) ⇒ AF // CE hay EN // FM (1)
Xét tứ giác BFDE ta có:
AB // CD (gt) hay BE // DF
BE =12AB (gt)
DF =12CD (gt)
AB = CD ( tính chất hình bình hành)
Suy ra: BE = DF
Tứ giác BFDE là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ BF // DE hay EM // FN (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EMFN là hình bình hành (theo định nghĩa)
b. Gọi O là giao điểm của AC và EF
Tứ giác AECF là hình bình hành ⇒ OE = OF
Tứ giác EMFN là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Suy ra: MN đi qua trung điểm O của EF
Vậy AC, EF, MN đồng quy tại O.
