Gọi MN cắt BD tại O.
KHi đó, O là tâm của hình bình hành ABCD.
Khi đó, O là trung điểm BD và AC.
Vậy DO là đường trung tuyến tam giác ACD.
Lại có AN là đường trung tuyến tam giác ACD.
Vậy E là trọng tâm tam giác ACD.
Do đó $\vec{DE} = \dfrac{2}{3} \vec{DO}$
Lại có O là trung điểm BD nên $\vec{DO} = \dfrac{1}{2} \vec{DB}$
Vậy $\vec{DE} = \dfrac{1}{3} \vec{DB}$
Do đó $\vec{BE} = \dfrac{2}{3} \vec{BD}$
Ta có
\begin{align*} \vec{DE} &= \vec{AE} - \vec{AD}\\ &= \vec{AB} + \vec{BE} - \vec{AD}\\ &= \vec{AB} - \vec{AD} + \vec{BE}\\ &= \vec{AB} - \vec{AD} + \dfrac{2}{3} (\vec{AD} - \vec{AB})\\ &= \dfrac{1}{3} \vec{AB} - \dfrac{1}{3} \vec{AD} \end{align*}
Mặt khác, CMTT ta có
$\vec{BF} = \dfrac{1}{3} \vec{CD} - \dfrac{1}{3} \vec{CB}$
Lấy đối của 2 vế, áp dụng tính chất hình bình hành là
$\vec{DC} = \vec{AB}, \vec{BC} = \vec{AD}$ ta có $\vec{FB} = \dfrac{1}{3} \vec{AB} - \dfrac{1}{3} \vec{AD}$
Vậy ta có $\vec{DE} = \vec{FB}$
Ta có $DE = FB = \dfrac{1}{3} BD$ Vậy $EF = BD - DE - BF = \dfrac{1}{3} BD$
Vậy $DE = EF = FB$ và $DF = DE + EF = 2 DE$. Lại có \begin{align*} \vec{EF} &= \vec{DF} - \vec{DE}\\ &= 2 \vec{DE} - \vec{DE} \\ &= \vec{DE} \end{align*}
Vậy ta có $\vec{DE} = \vec{EF} = \vec{FB}$
