a) Do O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD, do đó OD = OB.
Mặt khác, do M và N là trung điểm của OD, OB nên ta có
$DM = MO = \dfrac{1}{2} OD = \dfrac{1}{2} OB = ON = NB$
Xét tam giác AMD và CNB có
- $AD = BC$ (tứ giác ABCD là hình bình hành)
- $\widehat{ADM} = \widehat{CBN}$ (2 góc so le trong)
- $DM = BN$
Vậy tam giác ADM = tam giác CBN, do đó AM = CN.
CMTT ta có AN = CM.
Vậy tứ giác ANCM là hình bình hành, suy ra AM//CN.
b) Xét tứ giác AFCE có AF//CE (AB//CD) và AE//CF (AM//CN).
Vậy tứ giác AFCE là hình bình hành, do đó AF = CE.
c) Ta có AE//CN. KHi đó, theo Ta lét ta có
$\dfrac{DM}{DN} = \dfrac{DE}{DC}$
Lại có $DN = DM + MO + ON = DM + DM + DM = 3DM$
Vậy $\dfrac{DM}{DN} = \dfrac{1}{3}$
Suy ra $\dfrac{DE}{DC} = \dfrac{1}{3}$.
Do đó
$\dfrac{DE}{EC} = \dfrac{DE}{DC-DE} = \dfrac{1}{3-1} = \dfrac{1}{2}$.
Vậy $DE = \dfrac{1}{2} EC$.
