Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$AM//CN$; $AM = \dfrac{1}{2}AB;CN = \dfrac{1}{2}CD;AB = CD$
$\to AM//CN;AM=CN$
$\to AMCN$ là hình bình hành.
$\to AN=MC$
b) Gọi $AC\cap BD=O$
Ta có:
$ABCD$ là hình bình hành
$\to AC,BD$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường.
$\to O$ là trung điểm của $AC,BD$
Lại có:
$AMCN$ là hình bình hành
$\to MN,AC$ giao nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà $O$ là trung điểm của $AC$
$\to O$ là trung điểm của $MN$
$\to AC,MN,BD$ cắt nhau tại $O$
c) Ta có:
Chứng minh tương tự câu a ta có: $BMDN$ là hình bình hành
$\to MD//BN$
$\to MP//QN$
Lại có:
$AMCN$ là hình bình hành.
$\to AN//CM$
$\to PN//MQ$
Xét tứ giác $MQNP$ có: $PN//MQ:MP//QN$
$\to MQNP$ là hình bình hành.
d) Ta có:
$MQNP$ là hình chữ nhật
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \widehat {MQN} = {90^0}\\
\Leftrightarrow CM \bot AN = P
\end{array}$
Lại có:
Chứng minh tương tự câu a ta có: $AMND$ là hình bình hành.
Khi đó:
$MQNP$ là hình chữ nhật
$ \Leftrightarrow AMND$ là hình thoi
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow AD = AM\\
\Leftrightarrow AD = 2AB
\end{array}$
Vậy hình bình hành cần có thêm điều kiện $AD=2AB$ thì $MQNP$ là hình chữ nhật.
