`a)`
Xét `ΔABC` có:
`BE=AE(g``t)`
`BF=CF(g``t)`
`⇒EF` là đường trung bình của `ΔABC`
`⇒text{EF//AC}` và `EF=1/2AC(` tính chất đường trung bình của `Δ)`
Vì `text{EF//AC(cmt)}`
Hay `text{EF//AO}`
Vì `ABCD` là hình bình hành
`⇒AO=CO(` tính chất hình bình hành `)(1)`
Hay `AO=1/2AC`
Mà `EF=1/2AC(cmt)`
`⇒EF=AO`
Xét tứ giác `AEFO` có:
`text{EF//AO(cmt)}`
`EF=AO(cmt)`
`⇒` tứ giác `AEFO` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)`
`⇒H` là trung điểm của `2` đường chéo `AF` và `OE(` tính chất hình bình hành `)`
Hay `AF` cắt `OE` tại `H(đpcm)`
`b)`
Vì `ABCD` là hình bình hành
`⇒BO=DO(` tính chất hình bình hành `)`
Xét `ΔABD` có:`BO=DO(cmt)`
`⇒AO` là đường trung tuyến của `ΔABD`
Xét `ΔABD` có:`AE=BE(g``t)`
`⇒DE` là đường trung tuyến của `ΔABD`
Xét `ΔABD` có:
`AO` là đường trung tuyến của `ΔABD`
`DE` là đường trung tuyến của `ΔABD`
`AO∩DE={L}`
`⇒L` là trọng tâm của `ΔABD`
`⇒AL=2/3AO(2)`
`LO=1/3AO(3)`
Xét `ΔBCD` có:`BF=CF(g``t)`
`⇒DF` là đường trung tuyến của `ΔBCD`
Xét `ΔBCD` có:`BO=DO(cmt)`
`⇒CO` là đường trung tuyến của `ΔBCD`
Xét `ΔBCD` có:
`DF` là đường trung tuyến của `ΔBCD`
`CO` là đường trung tuyến của `ΔBCD`
`DF∩CO={K}`
`⇒K` là trọng tâm của `ΔBCD`
`⇒KC=2/3CO(4)`
`KO=1/3CO(5)`
Từ `(1),(2)` và `(4)⇒AL=KC(6)`
Cộng vế theo vế `(3)` và `(5)` ta có:
`LO+KO=1/3AO+1/3CO`
`⇒LK=1/3AO+1/3AO(`vì `(1))`
`⇒LK=2/3AO`
Mà `AL=2/3AO(cmt)`
`⇒LK=AL(7)`
Từ `(6)` và `(7)⇒AL=LK=KC(đpcm)`
`c)`
Xét `ΔABC` có:
`AE=BE(g``t)`
`AO=CO(g``t)`
`⇒EO` là đường trung bình của `ΔABC`
`⇒text{EO//BC}(` tính chất đường trung bình của `Δ)(8)`
Vì `K` là trọng tâm của `ΔBCD`
`⇒BM` là đường trung tuyến của `ΔBCD`
`⇒DM=CM`
Xét `ΔBCD` có:
`DM=CM(cmt)`
`DO=BO(cmt)`
`⇒MO` là đường trung bình của `ΔBCD`
`⇒text{MO//BC}(` tính chất đường trung bình của `Δ)(9)`
Từ `(8)` và `(9)⇒E,O,M` thẳng hàng `(đpcm)`
