$ABCD$ là hình bình hành $(gt)$
$AC\cap BD =\left\{O\right\}\quad (gt)$
$\Rightarrow OA = OC;\, OB = OD$
Xét $∆BEO$ và $∆DFO$ có:
$OB = OD\quad (cmt)$
$\widehat{OBE}=\widehat{ODF}\quad$ (so le trong)
$\widehat{BOE}=\widehat{DOF}\quad$ (đối đỉnh)
Do đó $∆BEO=∆DFO\, (g.c.g)$
$\Rightarrow BE = DF$
Ta có:
$EG//AC\quad (gt)$
$\widehat{BEG}=\widehat{BAC}$ (đồng vị)
$FH//AC\quad (gt)$
$\widehat{DFH}=\widehat{DCA}$ (đồng vị)
$AB//CD\quad (gt)$
$\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ (so le trong)
$\Rightarrow \widehat{BEG}=\widehat{DFH}$
Xét $∆BEG$ và $∆DFH$ có:
$\widehat{BEG}=\widehat{DFH}\quad (cmt)$
$BE = DF\quad (cmt)$
$\widehat{EBG}=\widehat{FDH}\quad (\widehat{ABC}=\widehat{CDA})$
Do đó $∆BEG=∆DFH\, (g.c.g)$
$\Rightarrow EG=FH$
Ta lại có: $EG//FH\quad (//AC)$
Do đó $EGFH$ là hình bình hành
$\Rightarrow HE//FG$
