a) Ta có:
$OM$ là phân giác $\widehat{AOB}$
$OP$ là phân giác $\widehat{COD}$
mà $\widehat{AOB}$ và $\widehat{COD}$ đối đỉnh
nên $M, O,P$ thẳng hàng
Chứng minh tương tự, ta được: $N, O, Q$ thẳn hàng
Mặt khác:
$OM$ là phân giác $\widehat{AOB}$
$ON$ là phân giác $\widehat{BOC}$
mà $\widehat{AOB}$ và $\widehat{BOC}$ kề bù
nên $OM\perp ON$
hay $MP\perp NQ \quad (1)$
Xét $∆AOM$ và $∆COP$ có:
$AO = OC$
$\widehat{MAO}=\widehat{PCO}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAO}=\dfrac{1}{2}\widehat{DCO}$
$\widehat{AOM}=\widehat{COP}$ (đối đỉnh)
Do đó $∆AOM=∆COP\, (g.c.g)$
$\Rightarrow OM = OP \quad (2)$
Chứng minh tương tự, ta được: $ON = OQ \quad (3)$
$(1)(2)(3)\Rightarrow MNPQ$ là hình thoi
b) $ABCD$ là hình thoi
$\Rightarrow OM = ON$
$\Rightarrow MP = NQ$
$\Rightarrow MNPQ$ là hình vuông