Đáp án: $\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}}=(-1+\sqrt{3})^2=4-2\sqrt{3}$

Giải thích các bước giải:

Ta tưởng tượng cắt tứ diện theo cạnh bên SA, và trải tứ diện lên mặt phẳng (SBC). (Hình 2)

Gọi điểm A' là điểm mới sinh ra từ A sau khi cắt theo cạnh SA.

Gọi D,E lần lượt là giao điểm của AA' với SB và SC.

Ta có:

Chu vi tam giác AMN là: ${p_{AMN}} = AM + MN+NA=AM+MN+NA'\ge AA'$

Chu vi tam giác AMN nhỏ nhất khi và chỉ khi A,M,N,A' thẳng hàng hay $M \equiv D;N \equiv E$

Khi đó: 

$\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{{SD}}{{SB}}.\dfrac{{SE}}{{SC}}$

Ta có:

$\Delta SAB = \Delta SBC = \Delta SCA'\left( {c.c.c} \right)$

$ \Rightarrow \widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA'} = {30^0} \Rightarrow \widehat {ASA'} = {90^0}$

Mà $SA=SA'$ nên tam giác SAA' là tam giác vuông cân tại S 

$ \Rightarrow \widehat {SAD} = \widehat {SA'E} = {45^0}$

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {SAD} = \widehat {SA'E} = {45^0}\\
SA = SA'\\
\widehat {ASD} = \widehat {A'SE} = {30^0}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ASD = \Delta A'SE\left( {g.c.g} \right)\\
 \Rightarrow SD = SE \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = {\left( {\dfrac{{SD}}{{SB}}} \right)^2}={\left( {\dfrac{{SD}}{{SA}}} \right)^2}
\end{array}$

Ta có:

$\Delta ASD$ có $\widehat {ASD} = {30^0};\widehat {SAD} = {45^0}$$ \to \widehat {ADS} = {105^0}$

$\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}}=(-1+\sqrt{3})^2=4-2\sqrt{3}$

Vậy $\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}}=(-1+\sqrt{3})^2=4-2\sqrt{3}$

Theo ĐL sin ta có:

$\dfrac{{SD}}{{\sin \widehat {SAD}}} = \dfrac{{SA}}{{\sin \widehat {ADS}}} \Rightarrow \dfrac{{SD}}{{SA}} = \dfrac{{\sin \widehat {SAD}}}{{\sin \widehat {ADS}}} = \dfrac{{\sin {{45}^0}}}{{\sin {{105}^0}}} =  - 1 + \sqrt 3 $