Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng \(\sqrt 2 a\), góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({45^0}\). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng A.\(\frac{{16\pi {a^2}}}{3}\). B.\(4\pi {a^2}\). C.\(\frac{{4\pi {a^2}}}{3}\). D.\(6\pi {a^2}\).
Đáp án đúng: B Giải chi tiết: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Vì S.ABCD là hình chóp đều \( \Rightarrow SO \bot (ACBD)\) \( \Rightarrow \left( {\widehat {SB;\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SB;OB}} \right) = \widehat {SBO} = {45^0} = \widehat {SDO}\) \( \Rightarrow \Delta SBD\)vuông cân tại S \( \Rightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Delta SBD\) \( \Rightarrow OS = OB = OD\) Mà \(OA = OB = OC = OD \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bán kính mặt cầu: \(R = OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = a\) (do ABCD là hình vuông có cạnh bằng \(\sqrt 2 a\)). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp : \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {a^2}\) Chọn: B