Đáp án:
$d(A;(SBC))=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
Giải thích các bước giải:
$∆ABC$ đều cạnh $a$
Gọi $M$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow AM\perp BC;\, AM =\dfrac{a\sqrt3}{2}$
mà $SA\perp BC\quad (SA\perp (ABC))$
nên $BC\perp (SAM)$
Từ $A$ kẻ $AH\perp SM$
Do $AH\subset (SAM)$
nên $BC\perp AH$
mà $AH\perp SM$ (cách dựng)
nên $AH\perp (SBC)$
$\Rightarrow AH = d(A;(SBC))$
Áp dụng hệ thức lượng trong $∆SAM$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2} +\dfrac{1}{AM^2}$
$\Rightarrow AH = \dfrac{SA.AM}{\sqrt{SA^2 + AM^2}}$
$\Rightarrow d(A;(SBC))=\dfrac{a\sqrt3\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}}{\sqrt{3a^2 +\dfrac{3a^2}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
