Lời giải:
a) Ta có:
$\begin{cases}SA\perp (ABC)\quad (gt)\\BH\subset (ABC)\end{cases}$
$\Rightarrow SA\perp BH$
b) Ta có:
$ΔABC$ đều $(gt)$
$H$ là trung điểm $AC\quad (gt)$
$\Rightarrow BH\perp AC$
Lại có: $BH\perp SA\quad$ (câu a)
$\Rightarrow BH\perp (SAC)$
c) Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua $B$ và vuông góc với $SC$
Từ $H$ kẻ $HI\perp SC\quad (I\in SC)$
Bên cạnh đó:
$BH \perp (SAC)\quad $ (câu b)
$\Rightarrow BH\perp SC$
Do đó:
$SC\perp (BIH)$
$\Rightarrow (BIH)\subset (\alpha)$
$\Rightarrow ΔBIH$ là thiết diện cần tìm
d) Xét $ΔIHC$ và $ΔASC$ có:
$\left.\begin{array}{l}\widehat{I} = \widehat{A} = 90^\circ\\\widehat{C}:\,chung\end{array}\right\}$
Do đó: $ΔIHC \sim ΔASC\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{IH}{SA} = \dfrac{HC}{SC}$
$\Rightarrow IH = \dfrac{HC}{SC}\cdot SA = \dfrac{\dfrac{1}{2}AC}{\sqrt{SA^2 + AC^2}}\cdot SA$
$\Rightarrow IH = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\sqrt{4a^2 + a^2}}\cdot 2a$
$\Rightarrow IH = \dfrac{a\sqrt5}{5}$
Bên cạnh đó:
$ΔABC$ đều cạnh $a$
$\Rightarrow BH = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
$BH\perp (SAC)\quad$ (câu b)
$\Rightarrow BH\perp IH$
$\Rightarrow ΔBIH$ vuông tại $H$
Do đó:
$S_{BIH} = \dfrac12BH\cdot IH$
$\Rightarrow S_{BIH} = \dfrac12\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt5}{5}$
$\Rightarrow S_{BIH} = \dfrac{a^2\sqrt{15}}{20}$
