Đáp án:
a) $V_{S.ABC} = \dfrac{a^3}{4}$
b) $I$ là trung điểm $SC$
$R = \dfrac{a\sqrt{15}}{4}$
Giải thích các bước giải:
a) $ΔABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ có:
$\quad \begin{cases}AB = a\\\widehat{ABC} = 60^\circ\end{cases}$
$\to \begin{cases}AC =a\sqrt3\\AH = \dfrac{a\sqrt3}{2}\end{cases}$
$\to S_{ABC} = \dfrac12AB\cdot AC = \dfrac12\cdot a\cdot a\sqrt3 = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$
Ta có:
$\quad SA\perp (ABC)\quad (gt)$
$\to SA\perp BC$
Lại có: $AH\perp BC\quad (gt)$
$\to BC\perp (SAH)$
$\to BC\perp SH$
Ta được:
$\quad \begin{cases}(ABC)\cap (SBC) = BC\\AH\perp BC\quad (gt)\\AH\subset (ABC)\\SH\perp BC\quad (cmt)\\SH\subset (SBC)\end{cases}$
$\to \widehat{((ABC);(SBC))} = \widehat{SHA} = 45^\circ$
$\to SA = AH.\tan45^\circ = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Do đó:
$V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}\cdot SA = \dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{a^3}{4}$
b) Gọi $I$ là trung điểm $SC$
Ta có:
$\quad BC\perp SH$ (câu a)
$\to HC\perp SH$
$\to ΔSHC$ vuông tại $H$
Lại có: $I$ là trung điểm cạnh huyền $SC$ (cách dựng)
$\to IS = IH = IC = \dfrac12SC$
Xét $ΔSAC$ vuông tại $A$ có:
$I$ là trung điểm cạnh huyền $SC$
$\to IS = IA = IC = \dfrac12SC$
Do đó: $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.AHC$ bán kính $R = \dfrac12SC$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $ΔSAC$ vuông tại $A$ ta được:
$\quad SC^2 = SA^2 + AC^2$
$\to SC^2 = \dfrac{3a^2}{4} + 3a^2$
$\to SC^2 = \dfrac{15a^2}{4}$
$\to SC = \dfrac{a\sqrt{15}}{2}$
$\to R = \dfrac{a\sqrt{15}}{4}$
