Đáp án:
${V_{S.AGC}} = \dfrac{{{a^3}}}{{36}}$
Giải thích các bước giải:
Gọi H là trung điểm của AB; Kẻ $HD\bot AG=D$; gọi E là trung điểm của BC.
Ta có:
Do (SAB) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và tam giác SAB cân ở S $\to SH\bot (ABC)$
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AG \bot HD\\
AG \bot SH
\end{array} \right. \Rightarrow AG \bot \left( {SHD} \right) \Rightarrow AG \bot SD\\
\Rightarrow \left( {\left( {SAG} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SD,HD} \right) = \widehat {SDH} = {60^0}
\end{array}$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ADH} = \widehat {ABE} = {90^0}\\
\widehat Achung
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ADH \sim \Delta ABE\left( {g.g} \right)\\
\Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AE}} = \dfrac{{HD}}{{EB}}\\
\Rightarrow HD = EB.\dfrac{{AH}}{{AE}} = \dfrac{{BC}}{2}.\dfrac{{\dfrac{{AB}}{2}}}{{\sqrt {A{B^2} + {{\left( {\dfrac{{BC}}{2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{2a}}{2}.\dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{a}{{2\sqrt 2 }}
\end{array}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\Delta SHD;\widehat {SHD} = {90^0};\widehat {SDH} = {60^0};HD = \dfrac{a}{{2\sqrt 2 }}\\
\Rightarrow SH = HD.\tan \widehat {SDH} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}
\end{array}$
Lại có:
${S_{AGC}} = \dfrac{2}{3}{S_{AHC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.AB.BC = \dfrac{1}{6}.a.2a = \dfrac{{{a^2}}}{3}$
$ \Rightarrow {V_{S.AGC}} = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{AGC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.\dfrac{{{a^2}}}{3} = \dfrac{{{a^3}}}{{36}}$
Vậy ${V_{S.AGC}} = \dfrac{{{a^3}}}{{36}}$
