Đáp án:
b) $\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right)$ và $\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = {45^0}$
d) $\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arccos \left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)$
e) $\left( {SA,\left( {SBC} \right)} \right) = {45^0}$
f) $\sin \left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}$
Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\
BC \bot AC\left( {\Delta ABC;\widehat C = {{90}^0}} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)
\end{array}$
Ta có:
$BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AI$
$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat C = {90^0};\widehat A = {60^0};AB = 2a\\
\Rightarrow AC = AB.\cos A = 2a.\cos {60^0} = 2a.\dfrac{1}{2} = a\\
\Rightarrow AC = SA
\end{array}$
$ \Rightarrow \Delta SAC$ cân ở A $\to AI\bot SC$
Như vậy:
$\left\{ \begin{array}{l}
AI \bot SC\\
AI \bot BC
\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right)$
b) Ta có:
$SA \bot \left( {ABC} \right)$$\to AB,AC$ lần lượt là hình chiếu của $SB,SC$ trên $(ABC)$
Khi đó:
$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA}\\
\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}
\end{array} \right.$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta SBA;\widehat {SAB} = {90^0}\left( {SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB} \right);SA = a;AB = 2a\\
\Rightarrow \tan \widehat {SBA} = \dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SBA} = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right) \Rightarrow \left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right)\\
\Delta SCA;\widehat {SAC} = {90^0}\left( {SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC} \right);SA = a;AC = a\\
\Rightarrow \tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = {45^0} \Rightarrow \left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = {45^0}
\end{array}$
Vậy $\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right)$ và $\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = {45^0}$
d) Ta có:
$BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow SC$ là hình chiếu của $SB$ lên $(SAC)$
$\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {SB,SC} \right) = \widehat {BSC}$
Lại có:
$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat C = {90^0};AB = 2a;\widehat A = {60^0} \Rightarrow BC = AB.\sin A = a\sqrt 3 \\
\Delta SBA;\widehat {SAB} = {90^0};SA = a;AB = 2a \Rightarrow SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 5
\end{array}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\Delta SBC;\widehat {SCB} = {90^0}\left( {BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot SC} \right);SB = a\sqrt 5 ;BC = a\sqrt 3 \\
\Rightarrow \cos \widehat {BSC} = \dfrac{{BC}}{{SB}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{5} \Rightarrow \widehat {BSC} = \arccos \left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)\\
\Rightarrow \left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arccos \left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)
\end{array}$
Vậy $\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arccos \left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)$
e) Ta có:
$AI \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow SI$ là hình chiếu của $SA$ trên $(SBC)$
$\begin{array}{l}
AI \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow SI\\
\Rightarrow \left( {SA,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {SA,SI} \right) = \widehat {ASI} = {90^0} - \widehat {SCA} = {90^0} - {45^0} = {45^0}
\end{array}$
Vậy $\left( {SA,\left( {SBC} \right)} \right) = {45^0}$
f) Kẻ $CD\bot AB=D$
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
CD \bot AB\\
CD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAB} \right)$
$ \Rightarrow SD$ là hình chiếu của $SC$ trên $(SAB)$
$ \Rightarrow \left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SC,SD} \right) = \widehat {CSD}$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta ACD;\widehat D = {90^0};AC = a;\widehat A = {60^0}\\
\Rightarrow CD = AC.\sin A = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}
\end{array}$
$\begin{array}{l}
\Delta SAC;\widehat {SAC} = {90^0};SA = AC = a\\
\Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = a\sqrt 2
\end{array}$
Suy ra:
$\begin{array}{l}
\Delta SCD;\widehat {CDS} = {90^0}\left( {CD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CD \bot SD} \right);CD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};SC = a\sqrt 2 \\
\Rightarrow \sin \widehat {CSD} = \dfrac{{CD}}{{SC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}\\
\Rightarrow \sin \left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}
\end{array}$
Vậy $\sin \left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}$