Đáp án:
\(x + y = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }}\).
Giải thích các bước giải:
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot BC\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{V_{S.ABC}} = {V_{B.AHS}} + {V_{C.AHS}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}{S_{AHS}}\left( {HB + HC} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}{S_{AHS}}.BC\end{array}\)
Có: \(AH = SH = \sqrt {1 - \dfrac{{{y^2}}}{4}} = \dfrac{{\sqrt {4 - {y^2}} }}{2}\)
\( \Rightarrow HE = \sqrt {A{H^2} - A{E^2}} = \sqrt {1 - \dfrac{{{y^2}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2} - {y^2}} }}{2}\)
\( \Rightarrow {S_{AHS}} = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2} - {y^2}} }}{2}.\dfrac{x}{2}\)
\( \Rightarrow V = \dfrac{1}{{12}}xy\sqrt {4 - {x^2} - {y^2}} \)
Áp dụng BĐT Cô-si \(abc \le {\left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}} \right)^{\frac{3}{2}}}\)
\( \Rightarrow xy\sqrt {4 - {x^2} - {y^2}} \le {\left( {\dfrac{{{x^2} + {y^2} + 4 - {x^2} - {y^2}}}{3}} \right)^{\frac{3}{2}}} = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{\frac{3}{2}}}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = {y^2} = 4 - {x^2} - {y^2}\)
\( \Leftrightarrow x = y = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\).
Vậy \(x + y = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }}\).
