Đáp án:
$\widehat{(SB;(ABC))} = 30^\circ$
Giải thích các bước giải:
Xét $\triangle SAB$ có:
$SA = SB = a$
$\widehat{ABS} = 60^\circ$
$\Rightarrow \triangle SAB$ đều cạnh $a$
$\Rightarrow AB = a$
Xét $\triangle SBC$ có:
$SB = SC = a$
$\widehat{BSC} = 90^\circ$
$\Rightarrow \triangle SBC$ vuông cân tại $S$
$\Rightarrow BC = SB\sqrt2 = a\sqrt2$
Xét $\triangle SAC$ có:
$SA = SC = a$
$\widehat{CSA} = 120^\circ$
Ta được:
$AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2SA.SC.\cos\widehat{CSA}$
$\Leftrightarrow AC^2 = a^2 + a^2 - 2.a.a.\cos120^\circ$ (định lý $\cos$)
$\Leftrightarrow AC^2 = 3a^2$
Nhận thấy:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
Do đó: $\triangle ABC$ vuông tại $B$
Gọi $H$ là trung điểm $AC$
$\Rightarrow HA = HB = HC = \dfrac12AC = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Ta lại có: $SA = SB = SC = a$
$\Rightarrow SH\perp (ABC)$
$\Rightarrow \widehat{(SB;(ABC))} = \widehat{SBH}$
Xét $\triangle SBH$ vuông tại $H$ có:
$\cos\widehat{SBH} = \dfrac{HB}{SB} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{2}}{a} = \dfrac{\sqrt3}{2}$
$\Rightarrow \widehat{SBH} = 30^\circ$
Vậy $\widehat{(SB;(ABC))} = 30^\circ$
