Đáp án:
Gắn hệ trục tọa độ với S làm gốc, các tia Sx, Sy, Sz ứng với các tia SA, SB, SC
Từ đk: SB+SC=3a đặt SB=3a.m, SC=3a.n với m,n>0 và m+n=1 (1)
Vậy sẽ có: A(3a,0,0) B(0, 3am, 0) C(0,0,3an) (2)
Gọi I(xo,yo,zo). Do khoảng cách từ I---> các mp (Sxy) , (Syz), (Szx) =R nên: |xo|= |yo|=|zo|= R
Do mặt cầu bàng tiếp mặt (ABC) với khối SABC nằm trong góc có các tọa độ >=0 nên khối cầu cũng phải gồm các điểm có tọa độ >=0
Hay xét riêng thì tọa độ tâm I : xo, yo, zo >0 ---> xo= yo=zo= R hay: I( R, R,R)
Thiết lập p/t mp (ABC) từ (2) {p/t mặt chắn}:
x/3a + y/3am + z/3an =1
<--> (1/3a). ( x + y/m + z/n) -1 =0 (3)
Đặt f( x,y,z) là vế trái của (3). Xét 2 điểm S(0,0,0) và I(R, R,R): Dễ thấy là f(0,0,0) = -1<0 ---> để S và I nằm 2 phía của mp (ABC) thì f( R,R,R) >0, hay là: (R/3a). (1+ 1/m +1/n) -1 >0 (4)
Bây giờ tính khoảng cách d từ I---> (ABC) và cho = R
d= |(R/3a). (1+1/m+1/n)-1|/ căn {(1/3a)^2.(1+1/m^2 + 1/n^2}= R (5)
Xét lần lượt cả tử và mẫu của vế trái của (5):
+) Do (4) nên: Tử = (R/3a). (1 +1/m+ 1/n) -1 = (R/3a). {1 + (m+n)/mn} -1 = (R/3a). (1 + 1/mn) -1 {do (1): m+n= 1} = (1/3a). {R(1+1/mn) -3a} (6)
+) Mẫu = 1/3a. Căn ( 1 +1/m^2+1/n^2) = 1/3a. Căn {1 + (1/m +1/n)^2 -2/mn }
Qui đồng lượng bình phương trong ngoặc= (m+n)^2/ (mn)^2= 1/(mn)^2
Do đó cái lõi của Căn = 1+ 1/(mn)^2 -2/mn = (1- 1/mn)^2 ---> Căn= |1-1/mn|
Do 0<m,n<1 nên 1/mn>1 ---> |1-1/mn| = 1/mn -1
Vậy: Mẫu = (1/3a). (1/mn -1) (7)
Từ (6) (7)---> vế trái của (5)=... và (5) sẽ tương đương với {R(1/mn + 1)- 3a}/ (1/mn -1)= R <--> R(1/mn +1) -3a = R( 1/mn -1)
Nhân tung ra rồi giản ước R/mn ở 2 vế sẽ đc: R- 3a= -R ---> R= 3a/2
