Gọi \(M\) là trung điểm \(SC\).
Tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) nên \(MB = MS = MC\).
Ta có: \(CB \bot BA,CB \bot BS \Rightarrow CB \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow CB \bot SA\)
Mà \(SA \bot AB \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(A\).
Suy ra \(MA = MS = MC\).
Do đó \(M\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(SB\).
Do \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\) hay \( \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = a\sqrt 2 \)
Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) nên \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\) \( \Rightarrow \frac{1}{{2{a^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} \Rightarrow SA = a\sqrt 6 \)
Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) nên
\(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {S{A^2} + A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {6{a^2} + 3{a^2} + 3{a^2}} = 2a\sqrt 3 \)
Vậy bán kính \(R = \frac{{SC}}{2} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)
