Đáp án:

\(d\left( {SB;AH} \right) = \dfrac{{2a\sqrt 7 }}{7}\).

Giải thích các bước giải:

Trong (SCD) kẻ HM // AB, HM = AB.

Khi đó ABMH là hình bình hành => AH // BM => AH // (SBM).

\(d\left( {SB;AH} \right) = d\left( {AH;\left( {SBM} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBM} \right)} \right)\).

Trong (SCD) kéo dài SM cắt CD tại E, khi đó ta có \(\left( {SBM} \right) \equiv \left( {SBE} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBM} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right)\).

Trong (ABCD) dựng \(AK \bot BE\) (K thuộc tia đối của BE).

Trong (SAK) dựng \(AI \bot SK\,\,\left( {I \in SK} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AI \bot \left( {SBE} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = AK\\ \Rightarrow d\left( {SB;AH} \right) = AK\end{array}\)

Áp dụng định lí Pytago ta có:

\(\begin{array}{l}AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 2a\sqrt 2 \\SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}}  = a\sqrt 2 \\SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}}  = a\sqrt 6 \end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{SH}}{{SD}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{6{a^2}}} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{{MH}}{{DE}}\\ \Rightarrow DE = 3MH = 6a\end{array}\)

\( \Rightarrow CE = 4a\).

Xét tam giác \(BCE\) có: \(\tan \widehat {CBE} = \dfrac{{CE}}{{BC}} = \dfrac{{4a}}{{2a}} = 2\)

Lại có: \(\widehat {CBE} + \widehat {ABK} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \cot \widehat {ABK} = \tan \widehat {CBE} = 2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\widehat {ABK}}} = 1 + {\tan ^2}\widehat {ABK} = 5\\ \Rightarrow \sin \widehat {ABK} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\ \Rightarrow AK = AB.\sin \widehat {ABK} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAK\) có:

\(AI = \dfrac{{SA.AK}}{{\sqrt {S{A^2} + A{K^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 .\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {2{a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{5}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 7 }}{7}\).

Vậy \(d\left( {SB;AH} \right) = \dfrac{{2a\sqrt 7 }}{7}\).