Đề bài thiếu dữ liệu chiều cao $SA$ của hình chóp
Ta có:
$ABCD$ là hình thoi
$\to AB = BC = CA = DA = a$
Ta lại có:
$\widehat{ABC} =60^\circ$
$\to ΔABC$ đều
$\to AB = BC = CA = DA = AC = a$
a) Gọi $\{O\} = AC \cap BD$
$\to OA = OC = \dfrac12AC =\dfrac{a}{2}$
Ta có:
$BD\perp AO\quad (BD\perp AC)$
$BD\perp SA\quad (SA\perp (ABCD))$
$\to BD\perp (SAO)$
Trong $mp(SAO)$ kẻ $AH\perp SO$
mà $BD\perp (SAO)\quad (cmt)$
nên $BD\perp AH$
Do $\begin{cases}AH\perp SO\quad \text{(cách dựng)}\\SO\subset (SBD)\\AH\perp BD\quad (cmt)\\BD\subset (SBD)\end{cases}$
nên $AH\perp (SBD)$
$\to AH = d(A;(SBD))$
Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔSAO$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{OA^2}$
$\to AH = \dfrac{SA.AO}{\sqrt{SA^2 + OA^2}}$
b) Gọi $M$ là trung điểm $BC$
$\to AM\perp BC\quad (ΔABC$ đều$)$
$\to AM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Lại có: $BC\perp SA \quad (SA\perp (ABCD))$
$\to BC\perp (SAM)$
Trong $mp(SAM)$ kẻ $AK\perp SM$
Do $BC\perp (SAM)$
nên $BC\perp AK$
$\to AK\perp (SBC)$
$\to AK = d(A;(SNC))$
Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔSAM$ vuông tại $A$ đường cao $AM$ ta được:
$\dfrac{1}{AK^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AM^2}$
$\to AK = \dfrac{SA.AK}{\sqrt{SA^2 + AM^2}}$
c) Gọi $N$ là trung điểm của $AD$
$\to CN\perp AD\quad (ΔCAD$ đều$)$
$\to CN = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Ta có:
$CN\perp AD$
$CN\perp SA \quad (SA\perp (ABCD))$
$\to CN\perp (SAD)$
$\to CN = d(C;(SAD)) = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
d) Ta có: $AB//CD$
mà $CD\subset (SCD)$
nên $AB//(SCD)$
$\to d(B;(SCD)) = d(A;(SCD))$
Gọi $P$ là trung điểm $CD$
$\to AP\perp CD\quad (ΔCAD$ đều$)$
$\to AP = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Ta có:
$CD\perp AP$
$CD\perp SA\quad (SA\perp (ABCD))$
$\to CD\perp (SAP)$
Trong $mp(SAP)$ kẻ $AI\perp SP$
Do $CD\perp (SAP)$
nên $CD\perp AI$
Do $\begin{cases}AI\perp SP\quad \text{(cách dựng)}\\SP\subset (SCD)\\AI\perp CD\quad (cmt)\\CD\subset (SCD)\end{cases}$
nên $AI\perp (SCD)$
$\to AI = d(A;(SCD)) = d(B;(SCD))$
Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔSAP$ vuông tại $A$ đường cao $AI$ ta được:
$\dfrac{1}{AI^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AP^2}$
$\to AI = \dfrac{SA.AP}{\sqrt{SA^2 + AP^2}}$
