Giải thích các bước giải:
a.Gọi $AC\cap BD=O$
Vì $ABCD$ là hình thoi
$\to AC\perp BD\to AO\perp BD=O$ là trung điểm mỗi đường
Ta có $ABCD$ là hình thoi $\to AB=BC=CD=DA$
Mà $\hat B=60^o\to \Delta ABC$ đều
$\to AC=AB=a$
$\to AO=\dfrac12AC=\dfrac12a$
Kẻ $AH\perp SO$
Ta có $SA\perp ABCD\to SA\perp BD, AO\perp BD\to BD\perp SAO\to BD\perp AH$
Mà $AH\perp SO\to AH\perp SBD$
$\to d(A,SBD)=AH$
Do $SA\perp AO, AH\perp SO$
$\to \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AO^2}$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
$\to \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{(\dfrac{a}{2}^2}$
$\to AH=\dfrac{a}{\sqrt{5}}$
$\to d(A, SBD)=\dfrac{a}{\sqrt{5}}$
b.Gọi $E$ là trung điểm $ABC\to AE\perp BC$ vì $\Delta ABC$ đều
$\to AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Kẻ $AF\perp SE$
Lập luận tương tự câu a
$\to d(A, SBC)=AF$
Mà :
$\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AE^2}$
$\to \dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{(\dfrac{a\sqrt{3}}{2})^2}$
$\to AF=a\cdot \sqrt{\dfrac37}$
$\to d(A, SBC)=a\cdot \sqrt{\dfrac37}$
c.Ta có $AD=DC, \hat D=\hat B=60^o\to \Delta ACD$ đều
Gọi $G$ là trung điểm $AD$
$\to CG=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Mặt khác $CG\perp AD, SA\perp ABCD\to SA\perp CG$
$\to CG\perp SAD$
$\to d(C, SAD)=CG=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
d.Kẻ $AI\perp CD\to AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=AE$
Mà $SA\perp ABCD\to SA\perp AI$
$\to \Delta SAI=\Delta SAE(c.g.c)$
$\to AJ=AF=a\cdot \sqrt{\dfrac37}$
$\to d(A, SCD)=AJ=a\cdot \sqrt{\dfrac37}$
Mà $AB//CD\to AB//SCD$
$\to d(B, SCD)=d(A, SCD)=AJ=a\cdot \sqrt{\dfrac37}$
