Đáp án:

${V_{S'.MNPQ}} = \dfrac{{5{a^3}}}{{12}}$

Giải thích các bước giải

 Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA.

Gọi J,I,L,K lần lượt là trọng tâm tam giác SAB,SBC,SCD,SDA.

+)Ta có:

$\dfrac{{SJ}}{{SE}} = \dfrac{{SK}}{{SH}} = \dfrac{{SI}}{{SF}} = \dfrac{{SL}}{{SG}} = \dfrac{2}{3}$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
JI//KL//\left( {ABCD} \right)\\
JK//IL//\left( {ABCD} \right)
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow JILK$ là hình bình hành.

Mặt khác:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{JI}}{{EF}} = \dfrac{{IL}}{{FG}} = \dfrac{{SJ}}{{SE}} = \dfrac{2}{3}\\
 \Rightarrow \dfrac{{{S_{JILK}}}}{{{S_{EFGH}}}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} = \dfrac{4}{9}
\end{array}$

Mà $ABCD$ là hình vuông cạnh $a $ nên $EFGH$ là hình vuông cạnh $\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$ \Rightarrow {S_{JILK}} = \dfrac{4}{9}{S_{EFGH}} = \dfrac{4}{9}{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{{2{a^2}}}{9}$

+)Ta có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{OJ}}{{OM}} = \dfrac{{OI}}{{ON}} = \dfrac{{OL}}{{OP}} = \dfrac{{OK}}{{OQ}} = \dfrac{1}{2}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
MN//PQ//\left( {ABCD} \right)\\
MQ//NP//\left( {ABCD} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

$ \Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành và $\left( {MNPQ} \right)//\left( {JILK} \right)$

Mà $\dfrac{{JI}}{{MN}} = \dfrac{{NP}}{{IL}} = \dfrac{1}{2}$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{{S_{JILK}}}}{{{S_{MNPQ}}}} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\\
 \Rightarrow {S_{MNPQ}} = 4{S_{JILK}}
\end{array}$

$ \Rightarrow {S_{MNPQ}} = \dfrac{8}{9}{a^2}$

+) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta SOA;\widehat {SOA} = {90^0};SA = a\sqrt 2 ;AO = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\
 \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}
\end{array}$

$ \Rightarrow SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{SJ}}{{SE}} = \dfrac{2}{3}\\
 \Rightarrow \dfrac{{d\left( {S,\left( {JILK} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \dfrac{2}{3}\\
 \Rightarrow \dfrac{{d\left( {O,\left( {JILK} \right)} \right)}}{{SO}} = \dfrac{1}{3}\\
 \Rightarrow d\left( {O,\left( {JILK} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{OJ}}{{OM}} = \dfrac{1}{2}\\
 \Rightarrow \dfrac{{d\left( {O,\left( {JILK} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {MNPQ} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{2}\\
 \Rightarrow d\left( {O,\left( {MNPQ} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {JILK} \right)} \right) = 2.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\\
 \Rightarrow d\left( {S,\left( {MNPQ} \right)} \right) = SO - d\left( {O,\left( {MNPQ} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}
\end{array}$

$\Rightarrow d(S',(MNPQ))= 2SO-d(S,(MNPQ))=\dfrac{{5a\sqrt 6 }}{6}$

+) Như vậy:

${V_{S'.MNPQ}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S',\left( {MNPQ} \right)} \right).{S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{5a\sqrt 6 }}{6}.\dfrac{{8{a^2}}}{9} = \dfrac{{5{a^3}}}{{12}}$

Vậy ${V_{S'.MNPQ}} = \dfrac{{5{a^3}}}{{12}}$