Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; AC = 2a, BD = 2a; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. A. B. C. D.
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Từ giả thiết AC = ; BD = 2a và AC, BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo. Ta có tam giác AOB vuông tại O và AO = a; BO = a, do đó
Hay tam giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD). Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB và DH = a; OK // DH và OK = DH = OK ⊥ AB AB ⊥ (SOK) => (SOK) vuông góc với (SAB); mà Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB⊥ OI OI ⊥ (SAB), hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB). Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao SO= Diện tích đáy SABCD = 4S.∆ABO = 2.OA.OB=2 ; đường cao của hình chóp . Thể tích khối chóp S.ABCD: (đvtt)