Đáp án: $\dfrac43a^3$
Giải thích các bước giải:
Gọi $AC\cap BD=I$
Qua $I$ kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $ABCD$
Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $SABCD\to O\in (d)$
Kẻ $OE\perp SA=E$
Ta có $SA\perp ABCD\to SA\perp AC, OI\perp AC$
$\to OEAI$ là hình chữ nhật
Vì $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $SABCD$
$\to OA=OS$
$\to OA^2=OS^2$
$\to AI^2+IO^2=SE^2+OE^2$
$\to AI^2+AE^2=(SA-AE)^2+AI^2$
$\to AE^2=(SA-AE)^2$
$\to AE=SA-AE$
$\to SA=2AE$
$\to E$ là trung điểm $SA$
$\to SE=EA=\dfrac12SA$
Mà $OA=\dfrac32a$
$ABCD$ là hình vuông tâm $I\to IA=IC=\dfrac12AC=\dfrac12\cdot AB\sqrt{2}=\dfrac12\cdot 2a\sqrt{2}=a\sqrt{2}$
$\to OA^2=OE^2+EA^2$
$\to (\dfrac32a)^2=(a\sqrt{2})^2+(\dfrac12SA)^2$
$\to SA=a$
$\to V_{SABCD}=\dfrac13\cdot SA\cdot S_{ABCD}$
$\to V_{SABCD}=\dfrac13\cdot a\cdot (2a)^2$
$\to V_{SABCD}=\dfrac43a^3$
