Đáp án:
$V_{S.ABCD}=\dfrac{2a^3\sqrt[]{15}}{3}$ $(đvtt)$
Giải thích các bước giải:
Vì $M$ là trung điểm của $AB$, mà $ΔSAB$ cân tại $S$
$→ SM⊥AB$
Mà $\left\{ \begin{array}{l}(SAB)⊥(ABCD)\\(SAB)∩(ABCD)=AB\end{array} \right. → SM⊥(ABCD)$
Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $M$
Hình chiếu của $C$ lên $(ABCD)$ là $C$
→ Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCM}$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC⊥AB\\BC⊥SM\end{array} \right. → BC⊥(SAB) $
$→ BC⊥SB$
Chứng minh tương tự, ta cũng có $AD⊥SA$
Xét $ΔSBC$ và $ΔSAD$ có:
$SA=SB $
$\widehat{SBC}=\widehat{SAD}=90^o$
$BC=AD$
$→ ΔSBC=ΔSAD$ (c-g-c)
$→ SC=SD$ (hai cạnh tương ứng)
Xét $ΔSMC$ vuông có:
$SM=SC.\text{sin}\widehat{SCM}$
$=2a\sqrt[]{5}.\text{sin}60^o$
$=2a\sqrt[]{5}.\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}$
$=\dfrac{a\sqrt[]{15}}{2}$
$MC=SC.\text{cos}\widehat{SCM}$
$=2a\sqrt[]{5}.\dfrac{1}{2}$
$=a\sqrt[]{5}$
Gọi độ dài cạnh hình vuông là $x$, ta có:
$MB=\dfrac{x}{2}$
$BC=x$
Áp dụng định lí $\text{Py-ta-go}$, ta có:
$MC^2=MB^2+BC^2$
$↔ 5a^2=\dfrac{x^2}{4}+x^2$
$↔ \dfrac{x^2}{4}=a^2$
$→ \dfrac{x}{2}=a$
$↔ x=2a$
Diện tích đáy là:
$V_{ABCD}=x^2=(2a)^2=4a^2$ $(đvdt)$
Thể tích khối chóp là:
$V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}.S_{ABCD}.SM$
$=\dfrac{1}{3}.4a^2.\dfrac{a\sqrt[]{15}}{2}$
$=\dfrac{2a^3\sqrt[]{15}}{3}$ $(đvtt)$
