$1)\quad$ Xét $\triangle SAB$ đều cạnh $a$ có:
$H$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow \begin{cases}HA = HB = \dfrac12AB =a\\SH\perp AB\\SH = a\sqrt3\end{cases}$
Ta có:
$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\quad (gt)\\(SAB)\cap (ABCD) = AB\\SH\perp AB\quad (cmt)\\SH\subset (SAB)\end{cases}$
$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$
$\Rightarrow SH \perp HC$
$\Rightarrow \triangle SHC$ vuông tại $H$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$SC^2 = SH^2 +HC^2$
$\qquad = SH^2 + HB^2 + BC^2$
$\qquad = \left(a\sqrt3\right)^2 + a^2 + \left(2a\sqrt3\right)^2$
$\qquad = 16a^2$
$\Rightarrow SC = 4a$
Gọi $I$ là trung điểm $SC$
$\Rightarrow IS = IC = IH = \dfrac12SC =2a\qquad (1)$
Mặt khác:
$HK$ là đường trung bình của $ABCD$
$\Rightarrow HK//BC//AD$
$\Rightarrow CD\perp HK$
Lại có: $SH\perp CD\quad (SH\perp (ABCD))$
$\Rightarrow CD\perp (SHK)$
$\Rightarrow CD\perp SK$
$\Rightarrow \triangle SKC$ vuông tại $K$
mà $I$ là trung điểm cạnh huyền $SC$
nên $IS = IC = IK = \dfrac12SC = 2a\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp $S.HKC$, bán kính $R = \dfrac12SC = 2a$
Khi đó, thể tích mặt cầu:
$V = \dfrac43\pi R^3$
$\quad = \dfrac43\cdot \pi\cdot \left(2a\right)^3$
$\quad = \dfrac{32\pi a^3}{3}$
$2)\quad$ Ta có:
$\begin{cases}BC\perp AB\\SH\perp BC\end{cases}$
$\Rightarrow BC\perp (SAB)$
$\Rightarrow HK\perp (SAB)$
Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle SAB$
$\Rightarrow G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle SAB$
$\Rightarrow SA = SB = SC = \dfrac23SH = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$
Từ $G$ kẻ đường thẳng $d\perp (SAB)$
$\Rightarrow d$ là trục của mặt cầu ngoại tiếp $S.ABC$
$\Rightarrow d//HK$
Trong $mp(SHK),\ d$ cắt $SK$ tại $P$
Gọi $M$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow MB = MC = \dfrac12BC = a\sqrt3$
Trong $mp(BCPG)$, đường trung trực của $BC$ cắt $d$ tại $J$
$\Rightarrow J$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp $S.ABC$
Ta có:
$\begin{cases}BC\perp BG\quad (BC\perp (SAB))\\BC\perp JM\quad \text{(cách dựng)}\end{cases}$
$\Rightarrow JM//BG$
Lại có: $GJ//BM\quad (d//BC)$
Do đó: $BMJG$ là hình bình hành
$\Rightarrow GJ = BM = a\sqrt3$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$R^2 = JB^2 = GJ^2 + BG^2$
$\quad = \left(a\sqrt3\right)^2 + \left(\dfrac{2a\sqrt3}{3}\right)^2$
$\quad = \dfrac{13a^2}{3}$
Khi đó, diện tích mặt cầu:
$S = 4\pi R^2$
$\quad = 4\cdot \pi\cdot \dfrac{13a^2}{3}$
$\quad = \dfrac{52\pi a^2}{3}$
